Abelin ryhmä

Abelin ryhmällä tarkoitetaan kommutatiivista ryhmää. Esimerkiksi ryhmä Z on yhteenlaskun suhteen Abelin ryhmä. Sykliset ryhmät ovat aina Abelin ryhmiä.

Abelin ryhmä on saanut nimensä Niels Henrik Abelin mukaan.

Notaatio

merkintäkulttuuri (täsmennys ei-matemaatikoille)

Abelin ryhmiä merkitään yleensä kahdella vaihtoehtoisella tavalla -- additiivisella tai multiplikatiivisella.

Tapa	Laskutoimitus	Neutraalialkio	Monikerrat	Käänteisalkio	Suora summa/tulo
Yhteenlasku	a + b	0	na	−a	G ⊕ H
Kertolasku	a * b tai ab	e tai 1	an	a−1	G × H

Multiplikatiivinen notaatio on ryhmille tavallisempi kuin additiivinen notaatio, mutta toisaalta additiivinen notaatio on tavallinen moduleille. Kun tutkitaan Abelin ryhmiä sekoittamatta siihen muita struktuureja, voidaan myös käyttää additiivista notaatiota.

Esimerkkejä

Jokainen syklinen ryhmä G on Abelin ryhmä, koska jos x ja y ovat G:n alkioita, on xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. Sama voidaan todeta alkion käänteisalkiolle. Erityisesti kokonaisluvut Z muodostavat Abelin ryhmän yhteenlaskun suhteen, kuten myös kokonaisluvut modulo n, Z/nZ.

Reaaliluvut muodostavat Abelin ryhmän yhteenlaskun suhteen, kuten myös nollasta poikkeavat reaaliluvut kertolaskun suhteen

Jokainen rengas on Abelin ryhmä yhteenlaskun suhteen. Myös kommutatiivisen renkaan kääntyvät alkiot samoin kuin yksiköt muodostavat multiplikatiivisen Abelin ryhmän.

Abelin ryhmän aliryhmä on normaali, joten niille voidaan muodostaa tekijäryhmä. Abelin ryhmän aliryhmät, tekijäryhmät, tulot ja suorat summat ovat Abelin ryhmiä.

Kertolaskutaulut

Jos halutaan varmistaa, että annettu äärellinen ryhmä on Abelin ryhmä, voidaan muodostaa ryhmän kertolaskutaulu. Olkoon ryhmä G= {g₁ = e, g₂, ..., g_n} laskutoimituksenaan ⋅. Tällöin taulun alkio kohdassa (i,j) on tulo g_i ⋅ g_j. Ryhmä on Abelin ryhmä jos ja vain jos taulu on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Eli jos taulukkoa ajatellaan matriisina, on tämä matriisi symmetrinen (mennen tullen (huom. insinööreille)).