Neliöksi täydentäminen

Neliöksi täydentäminen on algebrallinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös integraaleja laskettaessa.

Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) $ax^{2}+bx+c$ muotoon (2) $(a'x+b')^{2}+c'$. Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat.

Esimerkki 1

Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:

• $4x^{2}+4x=0$.

Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.

• $(4x^{2}+4x+1)-1=0$

Tarkastellaan neliöksi täydennystä tarkemmin. Huomataan, että neliöksi täydennyksessä otetaan ensimmäisen asteen kertoimen puolikkaan neliö, ja lisätään ja vähennetään se - tosin vain sillä ehdolla että $x^{2}$:n kerroin on 1!

Välivaiheittain:

(1) Otetaan $x^{2}$:n kerroin funktion kertoimeksi.

• $4(x^{2}+x)=0$

(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli $1*x$:n, puolikkaan neliö $({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}$ ja lisätään ja vähennetään se.

• $4[(x^{2}+x+{\frac {1}{4}})-{\frac {1}{4}}]=0$

(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin

• $(4x^{2}+4x+1)-1=0$
• $(2x+1)^{2}-1=0$

Nyt yhtälö ratkeaa helposti

• $(2x+1)^{2}=1$
• $2x+1=\pm 1$
• $2x=-1\pm 1$
• $x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}$.

Siis x on joko 0 tai -1.

Esimerkki 2

Tehtävä: kirjoita hyperbelin $9x^{2}-y^{2}+36x+2y+26=0$ yhtälö perusmuotoon: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, $a,b\in \mathbb {R}$

(1) Järjestellään termit mieleiseksi, eli vakiot oikealle puolelle ja tuntemattomat vasemmalle. Järjestellään x:t ja y:t.

• $9x^{2}+36x-y^{2}+2y=-26$

(2) Otetaan x:n funktiosta kerroin 9 ja y:n funktiosta -1 ulkopuolelle. Näin saadaan ehto täytettyä, että toisen asteen termien kertoimet ovat sulkeiden sisällä 1.

• $9(x^{2}+4x)+(-1)(y^{2}-2y)=-26$

(3) Täydennetään neliöksi - lisätään ja vähennetään ensimmäisen asteen termien kertoimien puolikkaiden neliöt.

• $9[(x^{2}+4x+2^{2})-2^{2}]+(-1)[(y^{2}-2y+(-1)^{2})-(-1)^{2}]=-26$

(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:

• $9(x^{2}+4x+4)$ - 36$+(-1)(y^{2}-2y+1)$ + 1$=-26|+36|-1$

(5) Jolloin jää:

• $9(x^{2}+4x+4)+(-1)(y^{2}-2y+1)=9$
• $9(x+2)^{2}-(y-1)^{2}=9|:9$
• ${\frac {(x+2)^{2}}{1}}-{\frac {(y-1)^{2}}{3^{2}}}=1$