Ero sivun ”Neliöksi täydentäminen” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 53: | Rivi 53: | ||
(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta: |
(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta: |
||
* <b><math>9x^2 + 36x + 36</math></b> <i>- 36</i><b><math> - y^2 + 2y - 1</math></b> <i> + 1</i><math> = -26 | +36 | -1</math> |
* <b><math>9x^2 + 36x + 36</math></b> <i>- 36</i><b><math> - y^2 + 2y - 1</math></b> <i> + 1</i><math> = -26 | +36 | -1</math> |
||
(4.1) HUOM! Mikäli on toisen asteen tuntemattomalla on kertoimia, niin otetaan ne funktioiden ulkopuolelle. Tässä tapauksessa niitä on yksi kappale, |
(4.1) HUOM! Mikäli on toisen asteen tuntemattomalla (x^2 tai y^2) on kertoimia, niin otetaan ne funktioiden ulkopuolelle. Tässä tapauksessa niitä on yksi kappale, <mat>9x^2</math>. Pyritään saamaan toisen asteen funktio muotoon <math>kerroin(x^2 + x + vakio)</math> |
||
(5) Jolloin jää: |
(5) Jolloin jää: |
Versio 6. lokakuuta 2009 kello 11.35
Neliöksi täydentäminen on algebrallinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös integraaleja laskettaessa.
Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) muotoon (2) . Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat.
Esimerkki 1
Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:
- .
Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.
Tarkastellaan neliöksi täydennystä tarkemmin. Huomataan, että neliöksi täydennyksessä otetaan ensimmäisen asteen kertoimen puolikkaan neliö, ja lisätään ja vähennetään se - tosin vain sillä ehdolla että :n kerroin on 1!
Välivaiheittain:
(1) Otetaan :n kerroin funktion kertoimeksi.
(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli :n, puolikkaan neliö ja lisätään ja vähennetään se.
(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin
Nyt yhtälö ratkeaa helposti
- .
Siis x on joko 0 tai -1.
Esimerkki 2
Tehtävä: kirjoita hyperbelin yhtälö, joka on muotoa perusmuotoon: ,
(1) Järjestellään termit mieleiseksi, vakiot oikealle puolelle ja tuntemattomat vasemmalle.
(2) Otetaan x:n funktiosta kerroin 9 ja y:n funktiosta -1 ulkopuolelle.
(3) Täydennetään neliöksi esimerkki 1:ssä mainitulla tavalla
(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:
- - 36 + 1
(4.1) HUOM! Mikäli on toisen asteen tuntemattomalla (x^2 tai y^2) on kertoimia, niin otetaan ne funktioiden ulkopuolelle. Tässä tapauksessa niitä on yksi kappale, <mat>9x^2</math>. Pyritään saamaan toisen asteen funktio muotoon
(5) Jolloin jää: