Ero sivun ”Hyperbolinen geometria” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
→Lähteet: en-wikiä ei lähteenä voi käyttää |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
| Rivi 10: | Rivi 10: | ||
==Historia== |
==Historia== |
||
Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten [[Proklos]], [[Ibn al-Haitham]], [[Omar Khaijam]], [[Nasir al-Din Tusi]], [[Witelo]], [[Gersonides]], [[Alfons]], ja myöhemmin [[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]], [[John Wallis]], [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] ja [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]yrittivät tidistaa [[paralleeliaksiooma]]a. Koska heidän yrityksen epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkimaan tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[János Bolyai|Bolyai]] ja [[Nikolai Lobatševski|Lobatševski]] kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat [[Leonhard Euler|Euler]], [[Gaspard Monge|Monge]] ja [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], ja vuonna 1837 [[Nikolai Lobatševski|Lobatševski]] ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle. |
Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten [[Proklos]], [[Ibn al-Haitham]], [[Omar Khaijam]], [[Nasir al-Din Tusi]], [[Witelo]], [[Gersonides]], [[Alfons]], ja myöhemmin [[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]], [[John Wallis]], [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] ja [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] yrittivät tidistaa [[paralleeliaksiooma]]a. Koska heidän yrityksen epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkimaan tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[János Bolyai|Bolyai]] ja [[Nikolai Lobatševski|Lobatševski]] kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat [[Leonhard Euler|Euler]], [[Gaspard Monge|Monge]] ja [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], ja vuonna 1837 [[Nikolai Lobatševski|Lobatševski]] ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle. |
||
==Hyperbolisen geometrian malleja== |
==Hyperbolisen geometrian malleja== |
||
Versio 3. lokakuuta 2009 kello 09.35
Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Hyperbolisen geometrian "vastakohdan" voidaan monien ominaisuuksien puolesta ajatella olevan pallo- eli elliptisen geometrian, euklidisen geometrian jääden rajatapauksena näiden kahden väliin.
Hyperbolinen geometria eroaa perinteisestä, euklidisesta, ääretöntä, tasaista tasoa käsittelevästä geometriasta monin tavoin. Muun muassa kolmion kulmien summa on aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.
Yhdensuuntaiset suorat
Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet eukidisessa geometriassa yhdensuuntaisille suorille tunnetut asiat eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakio etäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.
Historia
Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät tidistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksen epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkimaan tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.
Hyperbolisen geometrian malleja
Hyperbolisessa geometriassa on neljä yleisesti käytettyä mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puoli-taso malli ja Hyperboloidi malli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eikä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.