Ero sivun ”Matemaattinen induktio” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
D'ohBot (keskustelu | muokkaukset)
p Botti lisäsi: eo:Matematika indukto
Idioma-bot (keskustelu | muokkaukset)
p Botti lisäsi: lt:Matematinė indukcija
Rivi 72: Rivi 72:
[[it:Principio d'induzione]]
[[it:Principio d'induzione]]
[[he:אינדוקציה מתמטית]]
[[he:אינדוקציה מתמטית]]
[[lt:Matematinė indukcija]]
[[hu:Teljes indukció]]
[[hu:Teljes indukció]]
[[mk:Индукција]]
[[mk:Индукција]]

Versio 26. heinäkuuta 2009 kello 21.53

Induktiotodistuksen periaatetta voi verrata kaatuviin dominopalikkoihin

Matemaattinen induktio on matemaattinen todistus, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.

Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua koskeva väite todeksi kaikilla :n arvoilla, esimerkiksi . Tämä perustuu siihen, että jos joukolle A pätee

1) ja
2) Ehdosta ,

niin .

Matemaattinen induktio koostuu kolmesta vaiheesta:

  1. Perusaskel
    • Osoitetaan, että on tosi
  2. Induktioaskel
    • Induktio-oletus: on tosi arvolla
    • Induktioväite: tosi arvolla
    • Todistus: todistetaan, että oletuksesta seuraa väitös
  3. Johtopäätös
    • Induktioaskeleessa todistettiin, että on tosi aina seuraavalla :n arvolla.
    • Tämän induktioperiaatteen mukaan on tosi kaikilla :n luonnollisilla arvoilla.

Esimerkki

Todistetaan esimerkissä kaava .

  1. Perusaskel:
    Todistetaan, että P(0) pätee:
  2. Induktioaskel:
    Induktio-oletus: P(n) on tosi. (Varmaksi tiedetään jo P(0) paikkansapitävyys).
    Induktioväite: P(n + 1) on tosi.
    Koska yllä todettiin jo, että kaava pätee arvolla n = 0, voidaan tehdä sijoitus .
    Jos yhtälön vasen puoli voidaan esittää muodossa , on induktiotodistus saatettu loppuun.

Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla n + 1. Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun n = 0. Tästä seuraa, että kaava on tosi myös arvolla n = 0 + 1. Seurauksena taas tästä kaava pitää myös paikkansa arvoilla

Malline:Link GA

Malline:Link FA