Ero sivun ”Kvasiryhmä” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: nl:Quasigroep |
p Botti lisäsi: uk:Квазігрупа (алгебра) |
||
Rivi 43: | Rivi 43: | ||
[[nl:Quasigroep]] |
[[nl:Quasigroep]] |
||
[[ru:Квазигруппа]] |
[[ru:Квазигруппа]] |
||
[[uk:Квазігрупа (алгебра)]] |
|||
[[zh:拟群]] |
[[zh:拟群]] |
Versio 30. huhtikuuta 2009 kello 07.58
Kvasiryhmä (quasigroup) on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta G ja siinä määritellystä binäärioperaatiosta *. Magmasta poiketen kvasiryhmässä jakaminen on aina mahdollista. Useimmat kvasiryhmät eivät ole assosiatiivisia. Yksikköalkiollisia kvasiryhmiä kutsutaan luupeiksi (loop).
Määritelmiä
Kvasiryhmälle on käytössä kaksi formaalia määritelmää. Toinen määrittelee kvasiryhmän yhdellä binäärioperaatiolla ja toinen kolmella.
Määritelmä 1
Kvasiryhmä (Q, *) tarkoittaa joukkoa Q ja sellaista siinä määriteltyä *, jolle jokaista joukon Q alkiota a ja b kohti on olemassa yksikäsitteiset joukon Q alkiot x ja y, joille pätee
- a*x = b ,
- y*a = b .
Näiden yhtälöiden yksikäsitteiset ratkaisut kirjoitetaan usein x = a \ b ja y = b / a. Operaatiota \ ja / kutsutaan vasemmalta ja oikealta jakamiseksi (vrt. matriiseilla vasemmalta ja oikealta kertominen).
Määritelmä 2
Universaalissa algebrassa kvasiryhmä (Q, *, \, /) on joukko ja siinä määritellyt kolme binäärioperaatiota, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:
- y = x * (x \ y) ,
- y = x \ (x * y) ,
- y = (y / x) * x ,
- y = (y * x) / x .
Esimerkkejä
- Kokonaisluvut Z ja vähennyslasku muodostavat kvasiryhmän.
Perustelu: Kun a ja b ovat kokonaislukuja, a - x = b ja y - a = b, kun x = a - b ja y = b - (-a). Tämä kvasiryhmä on itse asiassa luuppi, koska nolla on yksikköalkio vähennyslaskun suhteen. Se on jopa assosiatiivisuutta vaille ryhmä: kun a, b ja c ovat kokonaislukuja, yleensä a - (b - c) ≠ (a - b) - c. Esimerkiksi 2 = 1 - (2 - 3) ≠ (1 - 2) - 3 = -4.