Ero sivun ”Suljettu joukko” versioiden välillä

Siirry navigaatioon Siirry hakuun
431 merkkiä lisätty ,  13 vuotta sitten
ei muokkausyhteenvetoa
p (Botti lisäsi: ro:Mulţime închisă)
Olkoon <math>(X,\mathcal{T})</math> [[topologinen avaruus]]. [[Osajoukko|Osajoukkoa]] <math>E \subset X</math> kutsutaan '''suljetuksi joukoksi''' jos ja vain jos sen [[komplementti]] <math>\complement E \in \mathcal{T}</math>. Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa <math>\mathcal{T}</math>).
[[Joukko|Joukon]] A [[osajoukko]] B on '''suljettu''', jos sen [[komplementti]] on [[Avoin joukko|avoin]]. Tästä seuraa, että suljetun joukon [[reuna]] kuuluu joukkoon. On olemassa myös joukkoja, jotka eivät ole suljettuja eivätkä avoimia, kuten puoliavoin väli [0,1[ [[reaaliluku|reaaliluvuilla]].
 
JokainenVoidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste eli [[unioni (matematiikka)|unioni]] on suljettu. [[Tyhjä joukko]] on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.
Suljettu väli [a,b] on suljettu joukko, koska joukot ]<math>-\infty</math>,a[ ja ]b,<math>\infty</math>[ ovat avoimia ja [a,b] on niiden yhdisteen komplementti.
 
Mikäli määräämme reaaliakselille <math>\mathbb{R}</math> [[itseisarvo|itseisarvon]] virittämät avoimet joukot, niin erityisesti <math>\mathbb{R}</math>:n [[avoin väli|avoimet välit]] ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi [[suljettu väli|suljetut välit]] <math>[a,b]</math> ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien <math>]-\infty,a[</math> ja <math>]b,\infty [</math> [[yhdiste|yhdisteenä]], joka on [[topologia|topologian]] määritelmän mukaan avoin joukko.
Jokainen suljettujen joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste eli [[unioni (matematiikka)|unioni]] on suljettu. [[Tyhjä joukko]] on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.
 
{{Tynkä/Matematiikka}}
Rekisteröitymätön käyttäjä

Navigointivalikko