Zenonin paradoksit

Paradoksit ovat saaneet nimensä Zenon Elealaisesta, joka kuului Parmenideen perustamaan elealaiseen koulukuntaan.

Zenonin paradoksit ovat Zenon Elealaisen ja hänen oppilaidensa kehittämiä paradokseja, jotka perustuvat liikkeen, moneuden, jatkuvuuden ja äärettömyyden käsitteisiin. Edelleen on epäselvää, laatiko Zenon paradoksinsa todistaakseen Parmenideen olleen oikeassa, kuten tärkeimmät historialliset lähteet väittävät, vai oliko paradoksien tarkoituksena vain osoittaa nämä kreikkalaisten hyväksymät käsitteet ristiriitaisiksi.

Vaikka antiikin kreikkalaiset hylkäsivät paradoksit mielettöminä, ne ovat vaivanneet länsimaalaisia ajattelijoita hyvin pitkään. Paradoksien tutkimista vaikeuttaa se, ettei Zenonin ilmeisesti laajasta tuotannosta ole säilynyt kuin kolme fragmenttia. Esimerkiksi Zenonin neljä kuuluisinta paradoksia, jotka on esitetty liikettä vastaan, tunnetaan vain välillisesti. Ongelmallista asian suhteen on myös se, että kaikki tärkeimmät Zenonia koskevat lähteet, jotka ovat Aristoteleen, Platonin, Simplikioksen ja Prokloksen kirjoittamia, käsittelevät hänen työtään hyvin negatiivisesti.

Zenonin paradokseista tunnetuin lienee nimellä "Akhilleus ja kilpikonna" -tunnettu tarina. Paradoksin mukaan kerkeäjalkainen Akhilleus ei kilpajuoksussa kykene koskaan ohittamaan kilpikonnaa, sillä ohittaakseen Akhilleuksen on ensin juostava siihen missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna liikkunut siitä eteenpäin. Sama toistuu kilpikonnan uuden sijainnin suhteen. Näin Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa. Tämän paradoksin ratkaisu liittyy siihen, että vaikka äärellinen matka jaettaisiin äärettömän moneen osaan, matka on silti äärellinen.

Paradoksit tunnetaan Aristoteleen esittämässä muodossa (Fysiikka, VI.9). Aristoteles antoi kuvausten lisäksi selitykset sille, miksi Zenonin paradoksit ovat virhepäätelmiä. Kolme tunnetuinta paradoksia ovat Aristoteleen kuvaamassa muodossa:

Dikotomia

Dikotomia-paradoksin mukaan liike on mahdotonta, koska "paikan suhteen liikkuvan täytyy saapua matkan puoliväliin, ennen kuin se saapuu perille" (Fysiikka VI:9, 239b10). Tämä puoliksi jakaminen jatkuisi loputtomiin.

Kuvitellaan, että objekti liikkuu paikasta A paikkaan B. Näin sen täytyy paikkaan B päästäkseen ensin saavuttaa paikka B1 A:n ja B:n puolessavälissä. Kuitenkin, ennen kuin tämä voi tapahtua, objektin tulee ensin saavuttaa paikka B2 A:n ja B1:n puolessavälissä. Ja edelleen, ennen kuin tämä voi tapahtua, objektin tulee ensin saavuttaa paikka B3 A:n ja B2:n puolessavälissä, ja näin loputtomiin. Näin liike ei voi koskaan edes alkaa.

A-----B3-----B2-----------B1-------------------------B

Eräs ratkaisu: Paradoksien yleinen ratkaisu liittyy siihen, että teorian aksioomia (systeemiä) on rajoitettu jollakin tavalla tai aksioomat on muotoiltu väärin. Tästä syystä paradoksin olemassaolo antaa yleensä uutta tietoa systeemistä, teoriasta. Liike-paradoksissa yllä siirrytään koko ajan kohti sitä ajanhetkeä, jolloin liike ei ole vielä alkanut ja niinpä liike ei ala. Koska siis tarkastellaan periaatteessa aikaa, jolloin liike ei ole vielä alkanut (hämärä paradoksin tausta-aksiooma), niin liike ei ole vielä alkanut. Jos tarkastellaan ajanhetkeä, jossa liikettä on tapahtunut, liikettä on tapahtunut.

Akhilleus

Akhilleus-paradoksi väittää "ettei nopein juoksija voi koskaan tavoittaa hitainta juoksijaa, sillä takaa-ajoasemassa olevan täytyy ensiksi tulla siihen kohtaan, josta häntä pakeneva aloitti juoksunsa, joten hitaammalla täytyy aina olla jonkin verran etumatkaa" (Fysiikka VI:9, 239b15).

Kuvitellaan, että Akhilleus juoksee kilpaa kilpikonnan kanssa. Hän juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna, mutta lähtee pisteestä A, 100 jalkaa pisteestä T1 lähtevää kilpikonnaa myöhemmin. Saadakseen kilpikonnan kiinni, Akhilleuksen tulee ensin saavuttaa piste T1. Kuitenkin kun hän on saavuttanut pisteen T1, kilpikonna on edennyt 10 jalkaa pisteeseen T2. Akhilleus juoksee edelleen pisteeseen T2. Kun hän on saavuttanut tämän pisteen, kilpikonna on edelleen yhden jalan hänen edellään pisteessä T3, ja niin edelleen. Näin Akhilleus ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa.

A----------------------------T1----------------T2---T3

Kaavio siitä, kuinka Akhilleus kuitenkin tavoittaa kilpikonnan.

Eräs ratkaisu: Tässä tapauksessa systeemiä on rajoitettu niin, että lähtökohtaisesti koskaan ei tarkastella ajanhetkeä, jolloin Akhilleus ohittaa kilpikonnan. Tarkastellaan vain ajanhetkiä, jotka lähestyvät asymptoottisesti ohitushetkeä. Ja näin Akhilleus ei tavoita koskaan kilpikonnaa. Vertaa edellinen paradoksi.

Nuoli

Nuoli-paradoksin mukaan liike on mahdotonta, koska "jos paikan suhteen liikkuva on aina nykyhetkessä, lentävän nuolen täytyy olla liikkumaton" (Fysiikka VI:9, 239b5).

Kuvitellaan, että nuoli lentää yhtämittaisesti eteenpäin jonkin ajan verran. Jos otetaan mikä tahansa hetki kyseisenä aikana, on mahdotonta, että nuoli lentäisi tuolloin, koska kyseisen hetken pituus on nolla. Näin nuoli ei voi olla kahdessa paikassa yhtä aikaa. Jokaisella ajan hetkellä nuoli on yhtä liikkumaton, ja näin se on liikkumaton koko kyseisenä aikana lentäessään.

Eräs ratkaisu: Tässä tarkastellaan vain yhtä ajanhetkeä, nykyhetkeä. Aika siis pysäytetään. Koska aikaa ei kulu ja nopeus on matka jaettuna ajalla (aika ja matka siis nollia), tullaan epämääräiseen tilaan. Tarkastelemalla hetkeä, jossa aikaa ei kulu, ei ole liikettä. Nuolen liike muodostuu rajattomasta määrästä lyhyitä nykyhetkiä (joissa nuoli on lähes paikallaan (vrt. hidastus)), ei yhdestä nykyhetkestä.

Paradoksit liittyivät osittain siihen, että Antiikin Kreikan matematiikasta ja ajattelusta puuttui raja-arvon käsite.

Eino Kailan mukaan liikkeen paradoksit eivät ratkea millään kuvaustavalla, jossa liike (tai aika) hajotetaan osiin eli siirtymiseksi kohdasta A kohtaan B, koska tällöin liikkeen "liikkuminen" kadotetaan, emmekä pysty kuvaamaan pisteiden välillä tapahtuvaa siirtymistä, koska niiden välille voidaan aina kuvitella uusi piste. Kailan mukaan liike ei ole varsinaisesti siirtymistä pisteestä toiseen, eikä aika ole siirtymistä hetkestä toiseen vaan molemmat ovat katkeamattomia kontinuumeja eli jatkumoita (Valitut teokset, 1). Vasta pysähtyessään voidaan todeta mihin pisteeseen liike päättyi.

Aristoteles kuvasi aikanaan ajan luonnetta sanomalla sen olevan kahden asian tilan välisen muutoksen kesto. Nuoliparadoksissa aikaa ja tapahtumista ajatellaan kahtena erillisenä vaikutuksena, vaikka sen sijaan olisi luontevaa ajatella ne erillisiksi vain tulkinnan kannalta, mutta reaalisesti samoiksi asioiksi. Ne näet ehdollistavat toisensa. Toisin sanoen ei ole tapahtumaa ilman aikaa, eikä aikaa ilman tapahtumaa.

Muita paradokseja

Näiden lisäksi Aristoteles esitti myös kaksi muuta, vähemmän tunnettua paradoksia:

Paikan paradoksi: "Jos kaikki oleva on jossakin paikassa, on selvää, että on olemassa myös paikan paikka ja näin äärettömästi" (Fysiikka IV:1, 209a25).

Hirssinjyvän paradoksi: "Mikä tahansa hirssin osa aiheuttaa äänen pudotessaan". Aristoteleen mukaan kuitenkin "mikään ei estä sitä, ettei tällainen osa liikuta missään ajassa sitä ilmaa, jota koko vakka liikuttaa pudotessaan. Eikä se siis vakassa liikuta edes sen suuruista osaa koko ilmasta, jota se liikuttaisi, jos se olisi itsekseen, sillä mikään osa ei edes ole olemassa koko vakassa muuten kuin potentiaalisesti" (Fysiikka VII:5, 250a20).

Lähteet

• Aristoteles: Fysiikka. Teokset III. Suomennos Tuija Jatakari, Kati Näätsaari, selitykset Simo Knuuttila. Helsinki: Gaudeamus, 1992.

Aiheesta muualla

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Zeno's Paradoxes (englanniksi)