Ero sivun ”Eukleideen algoritmi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 10: | Rivi 10: | ||
==Esimerkkejä== |
==Esimerkkejä== |
||
Määritetään lukujen 112 ja 408 suurin yhteinen tekijä eli syt(112, 408). |
|||
Määritetään lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmin avulla: |
|||
:<math>408=112\times\,3+72</math> |
|||
:<math>112=72\times\,1+40</math> |
|||
:<math>72=40\times\,1+32</math> |
|||
:<math>40=32\times\,1+8</math> |
|||
:<math>32=8\times\,4+0</math> |
|||
Lukujen 112 ja 408 suurin yhteinen tekijä on siis kahdeksan eli syt(112, 408)=8. |
|||
<p> |
|||
Viimeinen nollasta eroava on lukujen 31 ja 56 suurin yhteinen tekijä eli syt(31,56)=(31,56)=1. Tämä nähdään myös lukujen alkutekijähajotelmien avulla selvästi: 31 on alkuluku ja 56 = 2<sup>3</sup> * 7, joten suurin yhteinen tekijä on 1.<p> |
|||
=== Kiinalaisten käyttämä algoritmi === |
|||
Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin [[helmitaulu]]ssa seuraavasti:<p> |
Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin [[helmitaulu]]ssa seuraavasti:<p> |
||
Versio 12. marraskuuta 2007 kello 18.22
Eukleideen algoritmin on keino, jonka avulla voidaan selvittää kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä (syt). Algoritmi perustuu jakoyhtälön perättäiseen käyttöön.
Eukleideen algorimi etenee seuraavasti:
- Ensin kirjoitetaan jakoyhtälö luvuilla a ja b
- Seuraavaksi kirjoitetaan jakoyhtälö luvulle b ja edellisen jakoyhtälön jakojäännökselle
- Toistetaan niin usein, että jakojäännökseksi saadaan nolla.
- Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on viimeisin nollasta eroava jakojäännös
Esimerkkejä
Määritetään lukujen 112 ja 408 suurin yhteinen tekijä eli syt(112, 408).
Määritetään lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmin avulla:
Lukujen 112 ja 408 suurin yhteinen tekijä on siis kahdeksan eli syt(112, 408)=8.
Kiinalaisten käyttämä algoritmi
Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin helmitaulussa seuraavasti:
Vähennä toistuvasti pienempää suuremmasta. Kun luvut ovat samat, algoritmi päättyy ja ko. luku on suurin yhteinen tekijä.
31 | 31 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | ... | 1 |
56 | 25 | 25 | 19 | 13 | 7 | 1 | ... | 1 |
Etsitään syt(15,25).
25 = 1 * 15 + 10.
15 = 1 * 10 + 5.
10 = 2 * 5 + 0.
eli syt(15,25) = 5.
Kiinalaisittain:
25 | 10 | 10 | 5 |
15 | 15 | 5 | 5 |
Algoritmi
Olkoot luvut a ja b kokonaislukuja ja b erisuuri kuin nolla. Käyttämällä toistuvasti jakoyhtälöä, saadaan:
...
- .
Algoritmi päättyy, koska luvut r0, r1, ...,rn muodostavat aidosti vähenevän jonon positiivisia kokonaislukuja.
Viimeinen jakojäännös rn jakaa (tasan) luvut a ja b:
Alimmasta yhtälöstä rn jakaa luvun rn-1.
Koska , niin rn jakaa luvun rn-2
Näin jatkamalla saadaan lopulta, että rn jakaa b:n ja a:n.
Jos luvuilla a ja b on yhteinen tekijä c, ts. sanoen a ja b ovat tasan jaollisia luvulla c, c jakaa luvun r0, r1, ... yllä olevien yhtälöiden nojalla. Näin siis c jakaa luvun rn, joka on siten yhteisistä tekijöistä suurin.