Ero sivun ”Eukleideen algoritmi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: no:Euklids algoritme |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Eukleideen algoritmin''' on keino, jonka avulla voidaan selvittää kahden [[kokonaisluku|kokonaisluvun]] [[suurin yhteinen tekijä]] (syt). Algoritmi perustuu [[jakoyhtälö]]n perättäiseen käyttöön. |
|||
Eukleideen algorimi etenee seuraavasti: |
|||
*Ensin kirjoitetaan jakoyhtälö luvuilla a ja b |
|||
*Seuraavaksi kirjoitetaan jakoyhtälö luvulle b ja edellisen jakoyhtälön jakojäännökselle |
|||
*Toistetaan niin usein, että jakojäännökseksi saadaan nolla. |
|||
*Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on viimeisin nollasta eroava jakojäännös |
|||
==Esimerkkejä== |
==Esimerkkejä== |
Versio 12. marraskuuta 2007 kello 17.08
Eukleideen algoritmin on keino, jonka avulla voidaan selvittää kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä (syt). Algoritmi perustuu jakoyhtälön perättäiseen käyttöön.
Eukleideen algorimi etenee seuraavasti:
- Ensin kirjoitetaan jakoyhtälö luvuilla a ja b
- Seuraavaksi kirjoitetaan jakoyhtälö luvulle b ja edellisen jakoyhtälön jakojäännökselle
- Toistetaan niin usein, että jakojäännökseksi saadaan nolla.
- Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on viimeisin nollasta eroava jakojäännös
Esimerkkejä
Etsitään lukujen 31 ja 56 suurin yhteinen tekijä.
Ensin jaetaan 56 31:llä:
Sitten 31 25:llä: 31 = Jäsentäminen epäonnistui (MathML, sekä SVG tai PNG varalla (suositeltu nykyaikaisille selaimille ja helppokäyttötyökaluille): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/fi.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle 1*25+6.}
Sitten 25 6:lla: Jäsentäminen epäonnistui (MathML, sekä SVG tai PNG varalla (suositeltu nykyaikaisille selaimille ja helppokäyttötyökaluille): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/fi.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle 25 = 4*6+1.}
Sitten 6 1:llä: Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle 6=6*1+0.}
Viimeinen nollasta eroava on lukujen 31 ja 56 suurin yhteinen tekijä eli syt(31,56)=(31,56)=1. Tämä nähdään myös lukujen alkutekijähajotelmien avulla selvästi: 31 on alkuluku ja 56 = 23 * 7, joten suurin yhteinen tekijä on 1.
Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin helmitaulussa seuraavasti:
Vähennä toistuvasti pienempää suuremmasta. Kun luvut ovat samat, algoritmi päättyy ja ko. luku on suurin yhteinen tekijä.
31 | 31 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | ... | 1 |
56 | 25 | 25 | 19 | 13 | 7 | 1 | ... | 1 |
Etsitään syt(15,25).
25 = 1 * 15 + 10.
15 = 1 * 10 + 5.
10 = 2 * 5 + 0.
eli syt(15,25) = 5.
Kiinalaisittain:
25 | 10 | 10 | 5 |
15 | 15 | 5 | 5 |
Algoritmi
Olkoot luvut a ja b kokonaislukuja ja b erisuuri kuin nolla. Käyttämällä toistuvasti jakoyhtälöä, saadaan:
...
- .
Algoritmi päättyy, koska luvut r0, r1, ...,rn muodostavat aidosti vähenevän jonon positiivisia kokonaislukuja.
Viimeinen jakojäännös rn jakaa (tasan) luvut a ja b:
Alimmasta yhtälöstä rn jakaa luvun rn-1.
Koska , niin rn jakaa luvun rn-2
Näin jatkamalla saadaan lopulta, että rn jakaa b:n ja a:n.
Jos luvuilla a ja b on yhteinen tekijä c, ts. sanoen a ja b ovat tasan jaollisia luvulla c, c jakaa luvun r0, r1, ... yllä olevien yhtälöiden nojalla. Näin siis c jakaa luvun rn, joka on siten yhteisistä tekijöistä suurin.