Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka on irlantilaisen William Rowan Hamiltonin vuonna 1833 esittämä lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Se muistuttaa jonkin verran Lagrangen mekaniikkaa ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, joten se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.

Olkoon $q_{i}\,$ tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja ${\dot {q}}_{i}$ vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa Lagrangen funktio $L$. Määritellään uusi, nopeutta muistuttava suure, konjugoitu impulssi

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.

Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa ${\dot {q}}$:t ovat nopeuksia ja konjugoitu impulssi vastaa täsmälleen kappaleen liikemäärää. Pyörimisliikkeen tapauksessa ${\dot {q}}$:t ovat kulmanopeuksia ja konjugoidun impulssin määritelmä vastaa kappaleen pyörimismäärää.

Määritellään nyt uusi funktio

$H=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L$,

jota kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi (engl. Hamiltonian). Tämän funktion avulla saadaan kirjoitettua systeemiä kuvaavat liikeyhtälöt.

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

sekä

${\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}$

Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen Newtonin ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen. Yhtälöillä on myös syvällinen yhteys fysikaalisen systeemin toimintaan.

Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että $H$ riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on (niitä hyvin epätavallisia poikkeuksia, joissa aika esiintyy, lukuun ottamatta) säilyvä suure. Voidaan osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.

Hamiltonin mekaniikka on mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut kvanttimekaniikassa, jonka formalismi perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan.

Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori

Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

ja johon kohdistuu potentiaalienergia

$V={\frac {1}{2}}cx^{2}$,

missä $m$ on kappaleen massa ja $c$ vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli Lagrangen mekaniikka)

$L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}cx^{2}$

ja koordinaattia $x$ vastaava yleistetty impulssi saadaan derivoimalla ${\dot {x}}$:n suhteen:

$p=m{\dot {x}}$ (huomaa, että tämä on täsmälleen kappaleen liikemäärä).

Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä ${\dot {x}}$ impulssin $p$ avulla, jolloin saadaan ${\dot {x}}=p/m$ ja sijoitetaan

$H={\frac {p}{m}}\cdot p-({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}cx^{2})={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}cx^{2}$.

Nyt voidaan kirjoittaa Hamiltonin yhtälöt:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}&=&{\frac {p}{m}}\\{\dot {p}}&=&-cx\end{matrix}}\right.$

Derivoimalla ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoittamalla jälkimmäinen päädytään kappaleen liikeyhtälöön

${\ddot {x}}=-{\frac {c}{m}}x$,

jonka ratkaisuna saadaan

$x=A_{1}\sin({\sqrt {c/m}}\;t)+A_{2}\cos({\sqrt {c/m}}\;t)$ eli x-akselin suunnassa tapahtuva sinimuotoinen liike.

Katso myös

• Newtonin mekaniikka
• Lagrangen mekaniikka