Ero sivun ”Kokonaisalue” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: el:Ακεραία περιοχή |
p Botti lisäsi: ko:정역 |
||
Rivi 20: | Rivi 20: | ||
[[es:Dominio de integridad]] |
[[es:Dominio de integridad]] |
||
[[fr:Anneau intègre]] |
[[fr:Anneau intègre]] |
||
[[ko:정역]] |
|||
[[it:Chiusura integrale]] |
[[it:Chiusura integrale]] |
||
[[he:תחום שלמות]] |
[[he:תחום שלמות]] |
Versio 11. toukokuuta 2007 kello 10.50
Rengasta kutsutaan kokonaisalueeksi, jos on kommutatiivinen eikä :ssä ole nollanjakajia. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat , missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden arkkityyppinä. Muun muassa kokonaisalueen n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki .
Karakteristika
Alkion monikerta , missä yhteenalskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta jollakin kokonaisluvulla n, kun n ja a ovat nollasta poikkeavia, niin jokaisella D:n alkiolla b , mikä nähdään seuraavasti: , joten jos , niin koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, täytyy olla . Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön .
Pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku, mikä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, . . Tällöin ja siis nollanjakajien puuttuessa tai . Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan . Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli . Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.
Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden char(D) = 0 (äärettömien) ja char(D) > 0 (äärettömien tai äärellisten). Ero tulee esimerkiksi näkyviin kuntalaajennusten yhteydessä.