Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: pl:Wielomian charakterystyczny |
Siistimistä |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Karakteristinen polynomi''' on [[neliömatriisi|naliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksi, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]]. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
Annettulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i<sub>'', on karakteristinen polynomi muotoa |
Annettulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i<sub>'', on karakteristinen polynomi muotoa |
||
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math> |
|||
:(''t'' − ''a<sub>1<sub>'')(''t'' − ''a<sub>2<sub>'')(''t'' − ''a<sub>3<sub>'')... |
|||
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot. |
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot. |
||
Yleisen matriisin ''A'' tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on ''A'':n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori '''v'''≠'''0''' siten, että |
Yleisen matriisin ''A'' tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on ''A'':n ominaisarvo, on olemassa [[ominaisvektori]] '''v'''≠'''0''' siten, että |
||
:''A'' '''v''' = λ'''v''', |
|||
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>, |
|||
tai |
tai |
||
:(λ'''''I''''' − ''A'')'''v''' = 0, |
|||
:<math>(A - \lambda I)\vec{v} = 0</math>, |
|||
⚫ | missä |
||
⚫ | |||
:<math>\det(tI - A) = 0\,</math> |
|||
juuret ovat ''A'':n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty. |
|||
==Formaali määritelmä== |
==Formaali määritelmä== |
||
⚫ | |||
:<math>p_A(t) = \det(A - tI)\,</math>, |
|||
⚫ | |||
:''p''<sub>''A''</sub>(''t'') = det(''t'' '''''I''''' − ''A''), |
|||
⚫ | missä |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Lasketaan matriisin |
Lasketaan matriisin |
||
:<math>A=\begin{pmatrix} |
:<math>A=\begin{pmatrix} |
||
Rivi 29: | Rivi 37: | ||
</math> |
</math> |
||
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti: |
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti: |
||
:<math>t I-A = \begin{pmatrix} |
:<math>\det(t I-A) = \det \begin{pmatrix} |
||
t-2&-1\\ |
t-2&-1\\ |
||
1&t |
1&t |
||
Rivi 35: | Rivi 43: | ||
</math> |
</math> |
||
Tämä determinantti on |
Tämä determinantti on |
||
:<math>(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math> |
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math> |
||
Tämä on ''A'':n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin [[ominaisarvo]]. |
Tämä on ''A'':n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin [[ominaisarvo]]. |
||
Versio 20. tammikuuta 2007 kello 13.16
Karakteristinen polynomi on naliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksi, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Motivaatio
Annettulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ai, on karakteristinen polynomi muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että
- ,
tai
- ,
missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin
juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan
- ,
missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.