Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä

Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Siistimistä
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
(Siistimistä)
Lineaarialgebrassa '''karakteristinenKarakteristinen polynomi''' on neliömatriiseihin[[neliömatriisi|naliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksi, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]].
==Motivaatio==
 
==Motivaatio==
Annettulle neliömatriisille ''A'' on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''A'':n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i<sub>'', on karakteristinen polynomi muotoa
 
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math>
:(''t'' &minus; ''a<sub>1<sub>'')(''t'' &minus; ''a<sub>2<sub>'')(''t'' &minus; ''a<sub>3<sub>'')...
 
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
 
Yleisen matriisin ''A'' tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos &lambda; on ''A'':n ominaisarvo, on olemassa [[ominaisvektori]] '''v'''&ne;'''0''' siten, että
 
:''A'' '''v''' = &lambda;'''v''',
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>,
 
tai
 
:(&lambda;'''''I''''' − ''A'')'''v''' = 0,
:<math>(A - \lambda I)\vec{v} = 0</math>,
missä '''''I''''' on yksikkömatriisi. Koska '''v''' on nollasta poikkeava, on matriisi &lambda;'''''I''''' − ''A'' [[singulaarinen matriisi|singulaarinen]], jolloin sen [[determinant]]ti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin (''t'' '''''I''''' − ''A'') juuret ovat ''A'':n nollakohtia. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
missä '''''I''''' on [[yksikkömatriisi]]. Koska vektori '''v''' on nollasta poikkeava, on matriisi &<math>(A - \lambda;''''' I''''' − ''A'')</math> [[singulaarinen matriisi|singulaarinen]], jolloin sen [[determinantdeterminantti]]ti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin (''t'' '''''I''''' − ''A'') juuret ovat ''A'':n nollakohtia. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
 
:<math>\det(tI - A) = 0\,</math>
 
juuret ovat ''A'':n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
 
==Formaali määritelmä==
Olkoon ''K'' [[kunta (matematiikka)|kunta]] ja ''A'' ''K''-kertoiminen ''n''&times;''n''-matriisi. ''A'':n karakteristinen polynomi ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') on määritelmän mukaan
 
:<math>p_A(t) = \det(A - tI)\,</math>,
Olkoon ''K'' [[kunta (matematiikka)|kunta]] ja ''A'' ''K''-kertoiminen ''n''&times;''n''-matriisi. ''A'':n karakteristinen polynomi ''p''<sub>''A''</sub>(''t'') on määritelmän mukaan
:''p''<sub>''A''</sub>(''t'') = det(''t'' '''''I''''' − ''A''),
missä '''''I''''' on ''n''&times;''n'' [[yksikkömatriisi]]. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(''A'' − ''t'' '''''I'''''). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
 
missä '''''I''''' on ''n''&times;''n'' [[yksikkömatriisi]]. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(''A''''t'' '''''I'''tI''). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.
==Esimerkki==
 
==Esimerkki==
Lasketaan matriisin
:<math>A=\begin{pmatrix}
</math>
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
:<math>\det(t I-A) = \det \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t
</math>
Tämä determinantti on
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math>
Tämä on ''A'':n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin [[ominaisarvo]].
 
6 833

muokkausta

Navigointivalikko