Karakteristinen polynomi

Lineaarialgebrassa karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksi, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Motivaatio

Annettulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa a_i, on karakteristinen polynomi muotoa

(t − a₁)(t − a₂)(t − a₃)...

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että

A v = λv,

tai

(λI − A)v = 0,

missä I on yksikkömatriisi. Koska v on nollasta poikkeava, on matriisi λI − A singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin (t I − A) juuret ovat A:n nollakohtia. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä

Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. A:n karakteristinen polynomi p_A(t) on määritelmän mukaan

p_A(t) = det(t I − A),

missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − t I). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.

Esimerkki

Lasketaan matriisin

$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}.$

Tämä determinantti on

$(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.\,\!$

Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.