Ero sivun ”Stefanin–Boltzmannin laki” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 35: | Rivi 35: | ||
</math>, |
</math>, |
||
josta määrittelemme Stefanin-Boltzmannin vakioksi <math>\sigma = \frac{ac}{4} = 5.67 \times 10^{-8} \ \mathrm{T^4 \ W \ m^{-2}}</math> |
josta määrittelemme Stefanin-Boltzmannin vakioksi <math>\sigma = \frac{ac}{4} = 5.67 \times 10^{-8} \ \mathrm{T^4 \ W \ m^{-2}}</math> |
||
== Esimerkki == |
|||
Stefan-Boltzmannin lain avulla voidaan laskea arviot Aurinkokunnan planeettojen pintalämpötiloille. Seuraavan taulukon lämpötilat on laskettu Aurinkoa kunkin planeetan keskietäisyydellä kiertäville täysin mustille palloille. Pallo vastaanottaa tällöin Auringon säteilyä poikkileikkauksensa suuruisella ympyrän pinta-alalla ja säteilee mustan kappaleen säteilyä neljä kertaa suuremmalla pallon pinta-alalla. Asettamalla vastaanotetun säteilyn määrä yhtä suureksi kuin ympäristöön säteilty energiamäärä, voidaan tasapainotilanteen lämpötila laskea. |
|||
Taulukon perusteella näyttäisi Venuksella vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee siitä, että Marsin pinta on Auringon lämpötilaa vastaavilla säteilyn aallonpituuksilla 'mustempi' kuin planeetan omaa lämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan. |
|||
{| {{prettytable}} <!-Planeettojen laskennalliset lämpötilat--> |
|||
|- |
|||
| Planeetta |
|||
| Etäisyys Auringosta/AU |
|||
| Laskettu lämpötila/K |
|||
| Laskettu lämpötila/C |
|||
| Havaittu lämpötila/C |
|||
|- |
|||
| Merkurius |
|||
| 0.387 |
|||
| 447 |
|||
| 174 |
|||
| 179 |
|||
|- |
|||
| Venus |
|||
| 0.723 |
|||
| 327 |
|||
| 54 |
|||
| 452 |
|||
|- |
|||
| Maa |
|||
| 1.000 |
|||
| 278 |
|||
| 5 |
|||
| 14 |
|||
|- |
|||
| Mars |
|||
| 1.523 |
|||
| 226 |
|||
| -48 |
|||
| -123--60 |
|||
|- |
|||
| Jupiter |
|||
| 5.203 |
|||
| 122 |
|||
| -151 |
|||
| -153 |
|||
|- |
|||
| Saturnus |
|||
| 9.541 |
|||
| 90 |
|||
| -183 |
|||
| -185 |
|||
|- |
|||
| Uranus |
|||
| 19.19 |
|||
| 64 |
|||
| -210 |
|||
| -214 |
|||
|- |
|||
| Neptunus |
|||
| 30.09 |
|||
| 51 |
|||
| -223 |
|||
| -225 |
|||
|- |
|||
| Pluto |
|||
| 39.51 |
|||
| 44 |
|||
| -229 |
|||
| -236 |
|||
|} |
|||
[[Luokka:Fysiikan lait]] |
[[Luokka:Fysiikan lait]] |
Versio 31. joulukuuta 2006 kello 04.40
Stefanin–Boltzmannin laki on fysikaalinen laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä teho pinta-alaa kohti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin:
Verrannollisuuskerrointa σ kutsutaan Stefanin–Boltzmannin vakioksi. Sen arvo on
- .
Siten musta kappale, jonka pinta-ala on 1 cm2, säteilee lämpötilassa 1000 K suunnilleen teholla 5,7 W.
Lain havaitsi kokeellisesti Jožef Stefan vuonna 1879. Teoreettisesti sen johti termodynamiikan pohjalta Ludwig Boltzmann vuonna 1884. Stefanin–Boltzmannin lain voi johtaa myös Planckin säteilylakia integroimalla.
Stefanin-Boltzmannin lain johtaminen Planckin laista integroimalla
Integroidaan Planckin laki kaikkien taajuuksien yli, jotta saamme mustan kappaleen säteilyn kokonaisenergian
- .
Sijoitetaan ,
- .
Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on , jolloin
- , missä
Laskeaksemme säteillyn (kokonais)energian per sekunti per pinta-ala absoluuttisessa lämpötilassa T, voimme ajatella säteilyn fotoneja kaasuhiukkasina, joiden keskinopeus on c. Silloin fotonivuo on
- , missä N on fotonien määrällinen tiheys.
Koska musta kappale on täydellinen absorboija, on se myös täydellinen emittoija, jolloin säteilty energia per sekunti, eli teho, I on , koska . Nyt saamme
- ,
josta määrittelemme Stefanin-Boltzmannin vakioksi
Esimerkki
Stefan-Boltzmannin lain avulla voidaan laskea arviot Aurinkokunnan planeettojen pintalämpötiloille. Seuraavan taulukon lämpötilat on laskettu Aurinkoa kunkin planeetan keskietäisyydellä kiertäville täysin mustille palloille. Pallo vastaanottaa tällöin Auringon säteilyä poikkileikkauksensa suuruisella ympyrän pinta-alalla ja säteilee mustan kappaleen säteilyä neljä kertaa suuremmalla pallon pinta-alalla. Asettamalla vastaanotetun säteilyn määrä yhtä suureksi kuin ympäristöön säteilty energiamäärä, voidaan tasapainotilanteen lämpötila laskea.
Taulukon perusteella näyttäisi Venuksella vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee siitä, että Marsin pinta on Auringon lämpötilaa vastaavilla säteilyn aallonpituuksilla 'mustempi' kuin planeetan omaa lämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan.
Planeetta | Etäisyys Auringosta/AU | Laskettu lämpötila/K | Laskettu lämpötila/C | Havaittu lämpötila/C |
Merkurius | 0.387 | 447 | 174 | 179 |
Venus | 0.723 | 327 | 54 | 452 |
Maa | 1.000 | 278 | 5 | 14 |
Mars | 1.523 | 226 | -48 | -123--60 |
Jupiter | 5.203 | 122 | -151 | -153 |
Saturnus | 9.541 | 90 | -183 | -185 |
Uranus | 19.19 | 64 | -210 | -214 |
Neptunus | 30.09 | 51 | -223 | -225 |
Pluto | 39.51 | 44 | -229 | -236 |