Ero sivun ”Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
[katsottu versio][katsottu versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Hieman viilausta.
wl fix, typo
Rivi 1: Rivi 1:
[[Tiedosto:Gram–Schmidt process.svg|thumb|Grammin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmän kaksi ensimmäistä vaihetta.]]
[[Tiedosto:Gram–Schmidt process.svg|thumb|Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmän kaksi ensimmäistä vaihetta.]]
'''Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä''' on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono [[sisätuloavaruus|sisätuloavaruuden]] V [[lineaarinen riippumattomuus|lineaarisesti riippumattomia]] [[vektori|vektoreita]] ortogonaalisiksi eli keskenään [[kohtisuoruus|kohtisuoriksi]] siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman [[vektoriavaruuden aliavaruus|aliavaruuden]] kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden [[vektoriavaruuden kanta|kanta]] kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali.
'''Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä''' on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono [[sisätuloavaruus|sisätuloavaruuden]] V [[lineaarinen riippumattomuus|lineaarisesti riippumattomia]] [[vektori|vektoreita]] ortogonaalisiksi eli keskenään [[kohtisuoruus|kohtisuoriksi]] siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman [[Lineaarinen aliavaruus|aliavaruuden]] kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden [[vektoriavaruuden kanta|kanta]] kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali.


Menetelmä on nimetty tanskalaisen [[Jørgen Pedersen Gram]]in ja saksalaisen [[Erhard Schmidt]]in mukaan.
Menetelmä on nimetty tanskalaisen [[Jørgen Pedersen Gram]]in ja saksalaisen [[Erhard Schmidt]]in mukaan.


==Gramin-Schmidtin menetelmä==
==Gramin–Schmidtin menetelmä==


Olkoon ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ), jolle pätee span( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) = span( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ) kaikilla k <math> \in </math> { 1, ..., n } eli jonot ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) ja ( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:
Olkoon ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ), jolle pätee span( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) = span( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ) kaikilla k <math> \in </math> { 1, ..., n } eli jonot ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) ja ( '''u'''<sub>1</sub>, ..., '''u'''<sub>n</sub> ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:


Valitaan <math> \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{w}_1 </math>.
Valitaan <math> \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{w}_1 </math>.


<math>\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{w}_2 - proj_{V_{1}} (\boldsymbol{w}_2) = \boldsymbol{w}_2 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1, </math> missä V<sub>1</sub> on vektorin '''v'''<sub>1</sub> virittämä aliavaruus ja proj<sub>V<sub>1</sub></sub>('''w'''<sub>2</sub>) on vektorin '''w'''<sub>2</sub> kohtisuora [[projektio aliavaruudelle|projektio aliavaruudelle]] V<sub>1</sub>. Merkintä <math> \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle </math> tarkoittaa vektoreiden '''a''' ja '''b''' [[sisätuloavaruus|sisätuloa]]; <math> \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \in \mathbf{R}</math>. Merkintä <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert </math> tarkoittaa vektorin '''a''' [[sisätuloavaruus|normia]]; <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert^2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle.</math> Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert \geq 0 </math> ja erityisesti pätee <math> \Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert = \Vert \boldsymbol{w}_1 \Vert > 0 </math>, koska muutoin '''w'''<sub>1</sub> = '''0''', mikä ei ole mahdollista, koska jono ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) on vapaa.
<math>\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{w}_2 - proj_{V_{1}} (\boldsymbol{w}_2) = \boldsymbol{w}_2 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1, </math> missä V<sub>1</sub> on vektorin '''v'''<sub>1</sub> virittämä aliavaruus ja proj<sub>V<sub>1</sub></sub>('''w'''<sub>2</sub>) on vektorin '''w'''<sub>2</sub> kohtisuora [[Projektio (lineaarialgebra)|projektio]] aliavaruudelle V<sub>1</sub>. Merkintä <math> \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle </math> tarkoittaa vektoreiden '''a''' ja '''b''' [[sisätuloavaruus|sisätuloa]]; <math> \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \in \mathbf{R}</math>. Merkintä <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert </math> tarkoittaa vektorin '''a''' [[Normi (matematiikka)|normia]]; <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert^2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle.</math> Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa <math> \Vert \boldsymbol{a} \Vert \geq 0 </math> ja erityisesti pätee <math> \Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert = \Vert \boldsymbol{w}_1 \Vert > 0 </math>, koska muutoin '''w'''<sub>1</sub> = '''0''', mikä ei ole mahdollista, koska jono ( '''w'''<sub>1</sub>, ..., '''w'''<sub>n</sub> ) on vapaa.


<math>\boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{w}_3 - proj_{V_{2}} (\boldsymbol{w}_3) = \boldsymbol{w}_3 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_2 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_2 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_2, </math> missä V<sub>2</sub> on vektoreiden '''v'''<sub>1</sub> ja '''v'''<sub>2</sub> virittämä aliavaruus ja proj<sub>V<sub>2</sub></sub>('''w'''<sub>3</sub>) on vektorin '''w'''<sub>3</sub> kohtisuora projektio aliavaruudelle V<sub>2</sub>.
<math>\boldsymbol{v}_3 = \boldsymbol{w}_3 - proj_{V_{2}} (\boldsymbol{w}_3) = \boldsymbol{w}_3 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_1 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_1 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_1 - \dfrac{\langle \boldsymbol{w}_3, \boldsymbol{v}_2 \rangle}{{\Vert \boldsymbol{v}_2 \Vert}^2} \; \boldsymbol{v}_2, </math> missä V<sub>2</sub> on vektoreiden '''v'''<sub>1</sub> ja '''v'''<sub>2</sub> virittämä aliavaruus ja proj<sub>V<sub>2</sub></sub>('''w'''<sub>3</sub>) on vektorin '''w'''<sub>3</sub> kohtisuora projektio aliavaruudelle V<sub>2</sub>.
Rivi 24: Rivi 22:


==Esimerkki==
==Esimerkki==
Sisätuloavaruuden '''R'''<sup>3</sup> (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( '''w'''<sub>1</sub>, '''w'''<sub>2</sub>, '''w'''<sub>3</sub> ), missä '''w'''<sub>1</sub> = [1 0 1]<sup>T</sup>, '''w'''<sub>2</sub> = [0 1 2]<sup>T</sup> ja '''w'''<sub>3</sub> = [1 -1 2]<sup>T</sup>. Sovelletaan jonoon Gramin ja Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.
Sisätuloavaruuden '''R'''<sup>3</sup> (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( '''w'''<sub>1</sub>, '''w'''<sub>2</sub>, '''w'''<sub>3</sub> ), missä '''w'''<sub>1</sub> = [1 0 1]<sup>T</sup>, '''w'''<sub>2</sub> = [0 1 2]<sup>T</sup> ja '''w'''<sub>3</sub> = [1 -1 2]<sup>T</sup>. Sovelletaan jonoon Gramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.


Valitaan
Valitaan

Versio 1. joulukuuta 2021 kello 14.13

Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmän kaksi ensimmäistä vaihetta.

Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono sisätuloavaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektoreita ortogonaalisiksi eli keskenään kohtisuoriksi siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman aliavaruuden kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden kanta kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali.

Menetelmä on nimetty tanskalaisen Jørgen Pedersen Gramin ja saksalaisen Erhard Schmidtin mukaan.

Gramin–Schmidtin menetelmä

Olkoon ( w1, ..., wn ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( u1, ..., un ), jolle pätee span( w1, ..., wn ) = span( u1, ..., un ) kaikilla k { 1, ..., n } eli jonot ( w1, ..., wn ) ja ( u1, ..., un ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:

Valitaan .

missä V1 on vektorin v1 virittämä aliavaruus ja projV1(w2) on vektorin w2 kohtisuora projektio aliavaruudelle V1. Merkintä tarkoittaa vektoreiden a ja b sisätuloa; . Merkintä tarkoittaa vektorin a normia; Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa ja erityisesti pätee , koska muutoin w1 = 0, mikä ei ole mahdollista, koska jono ( w1, ..., wn ) on vapaa.

missä V2 on vektoreiden v1 ja v2 virittämä aliavaruus ja projV2(w3) on vektorin w3 kohtisuora projektio aliavaruudelle V2.

missä Vk-1 on vektoreiden v1, v2, ..., vk-1 virittämä aliavaruus ja projVk-1(wk) on vektorin wk kohtisuora projektio aliavaruudelle Vk-1.

Näin muodostettu jono ( v1, ..., vn ) on ortogonaalinen. Ortonormaali jono ( u1, ..., un ) saadaan normittamalla jono ( v1, ..., vn ):

Esimerkki

Sisätuloavaruuden R3 (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( w1, w2, w3 ), missä w1 = [1 0 1]T, w2 = [0 1 2]T ja w3 = [1 -1 2]T. Sovelletaan jonoon Gramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.

Valitaan

Tarkistetaan: Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli niiden välinen pistetulo on nolla:

Normitetaan vielä:

ja

.

Nyt jono (u1, u2, u3 ) on ortonormaali jono ja span(u1, u2, u3 ) = span(w1, w2, w3 ).

Lähteet

  • Honkasalo Hannu 2003: Lineaarialgebra I. Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos.
  • Pesonen Martti E. 2011: Lineaarialgebra. Itä-Suomen yliopisto. [1]

Aiheesta muualla