Geometrinen konstruktiotehtävä

Ympyrän neliöimisen ongelma on kiinnostanut myös alkemisteja. Kuva Michael Maierin kirjasta Atalanta Fugiens, 1618.

Geometrisella konstruktiotehtävällä tarkoitetaan geometriassa tehtävää, jossa on annettu jokin alkuehto, josta lähtien pitää harpin ja viivaimen avulla käyttämällä konstruoida eli tiettyjä täsmällisiä sääntöjä noudattaen piirtää jokin kuvio.

Geometrisessa konstruktiossa käytettävät harppi ja viivain ovat idealisoituja työkaluja, joiden käyttäminen vastaa Eukleideen ensimmäisten kolmen aksiooman soveltamista. Täsmällisemmin sanottuna oletetaan:

1. Minkä tahansa kahden pisteen väliin voidaan piirtää jana
2. Mikä tahansa jana voidaan jatkaa suoraksi. Viivaimella ei voi mitata etäisyyksiä (katso kuitenkin edempänä neusis-konstruktioista).
3. Mikä tahansa annettu piste keskipisteenä ja annettujen kahden pisteen välinen etäisyys säteenä voidaan piirtää ympyrä.

Viivainta ei siis käytetä janojen mittaamiseen, mutta etäisyyden siirtäminen harpilla on helppo tehtävä. Italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni osoitti vuonna 1797, että kaikki harpilla ja viivaimella tehtävät konstruktiot voi tehdä pelkällä harpilla (Mohrin–Mascheronin lause).

Geometriset konstruktiot askarruttivat jo antiikin matemaatikoita. Esimerkiksi Eukleideen Elementa-teoksessa esitetään suuri joukko konstruktiotehtäviä ja niiden ratkaistut. On kuitenkin osoittautunut, että kaikkia tällaisia tehtäviä ei voida ratkaista pelkästään harpilla ja viivaimella. Sen tutkiminen, mitkä tehtävät voidaan näin ratkaista ja mitkä ei, johti lopulta 1800-luvulla abstraktin algebran kehittymiseen.

Yksinkertaisia tehtäviä

Tavallisimpia harpilla ja viivoittimella suoritettavia yksinkertaisia tehtäviä ovat seuraavat:

• tasasivuisen kolmion piirtäminen, kun kaksi sen kärkipisteistä tunnetaan
• annetun janan keskinormaalin piirtäminen
• suoran normaalin piirtäminen
• annetun janan keskipisteen löytäminen
• annetun pisteen kautta kulkevan normaalin piirtäminen suoralle, joka ei kulje kyseisen pisteen kautta
• pisteen peilaus suoran suhteen
• tangentin piirtäminen annetulle ympyrälle sen kehällä sijaitsevan annetun pisteen kautta
• ympyrän piirtäminen, joka kulkee kolmen annetun pisteen kautta, jotka eivät ole samalla suoralla
• annetun pisteen kautta kulkevan, annetun suoran kanssa yhdensuuntaisen suoran piirtäminen.

Näistä yhdistämällä voidaan suorittaa monia muita konstruktiotehtäviä.

Geometrisen konstruoinnin mahdollisuudet ja sen rajoitukset

On myös monia tehtäviä, joita ei ole mahdollista suorittaa klassisten sääntöjen mukaan harpilla ja viivoittimella. Algebran avulla voidaan selittää, mitkä tehtävät ovat mahdollisia ratkaista, mitkä eivät. Apuna voidaan käyttää karteesista koordinaatistoa ja vektoreita, jotka voidaan käsittää myös kompleksiluvuiksi. Euklidinen taso käsitetään siis kompleksitasoksi. Kun tasolta valitaan kaksi pistettä, joista toiselle käytetään merkintää 0 ja toiselle merkintää 1 ja valitaan jompikumpi mahdollisista orientaatioista, jokaista tason pistettä vastaa jokin kompleksiluku ja kääntäen.

Pisteet ja pituudet

Jos oletetaan annetuksi joukko kompleksitason pisteitä, harpilla ja viivoittimella voidaan löytää ne ja vain ne pisteet, jotka kuuluvat suppeimpaan sellaiseen kuntaan, johon alun perin annetut pisteet kuuluvat ja joka on suljettu kompleksikonjugaatin ja neliöjuuren oton suhteen. (Tarkkaan ottaen kompleksiluvun neliöjuurella on kaksi arvoa, mutta kaksikäsitteisyyden vuoksi valitaan näistä aina se, jonka kompleksinen argumentti on pienempi kuin π.) Tähän kuntaan kuuluvat ne ja vain ne pisteet, joita vastaava kompleksiluku voidaan esittää alkuperäisiä pisteitä vastaavien kompleksilukujen avulla lausekkeena, jossa on vain yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja sekä mahdollisesti kompleksikonjugaatin ja neliöjuuren ottoja. Kutakin näistä laskutoimituksista vastaa yksinkertainen harpilla ja viivoittimella suoritettavissa oleva konstruktio. Konstruoitavissa olevat pisteet muodostavat tason osajoukon, joka on kaikkialla tiheä, mutta numeroituva. Kun pistettä esittävä lauseke tunnetaan, se voidaan löytää konstruktiolla, joka saadaan yhdistämällä edellä mainittuja laskutoimituksia vastaavat konstruktiot. Jos lauseketta voidaan sieventää, voidaan myös vastaava piste löytää pienemmällä määrällä konstruktioita kuin mihin alkuperäinen lauseke viittaa.

Yhtäpitävästi voidaan todeta, että kun mikä tahansa joukko pisteitä on annettu ja orientaatio valittu, nämä pisteet määrittelevät joukon kompleksilukujen suhteita, jotka vastaavat näiden pisteiden erotusten suhteita. Suhteet, jotka voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella, muodostavat suppeimman kunnan, johon alkuperäiset suhteet sisältyvät ja joka on suljettu kompleksikonjugaatin ja neliöjuuren oton suhteen.

Jos esimerkiksi piste z on annettu, sen reaali- ja imaginaariosa samoin kuin sen moduuli ovat konstruoitavissa, sillä

$\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\;$

$\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\;$

$\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}.\;$

Yksinkertaisimmassa tapauksessa alkuperäiseen pistejoukkoon kuuluvat vain kompleksitason pisteet 0 ja 1. Tällöin konstruoitavissa ovat ne ja vain ne tason pisteet, joita vastaavan kompleksiluvun minimaalipolynomin aste on kahden potenssi. Ne voidaan esittää lausekkeena, jossa on vain kokonaislukuja, aritmeettisia laskutoimituksia (yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolaskuja) sekä neliöjuuria. Myös konstruoitavissa olevien janojen pituudet voidaan esittää tällaisella lausekkeella. Nämä muodostavat osajoukon algebrallisista luvuista. Kaikki algebralliset luvut eivät kuitenkaan ole konstruoitavissa; esimerkiksi ${\sqrt[{3}]{2}}$ on algebrallinen mutta ei konstruoitavissa.

Konstruoitavissa olevat kulmat

Konstruoitavissa olevat kulmat ja ne konstruoitavan ympyrän pisteet, jotka voidaan harppi- ja viivoitinkonstruktioilla löytää, vastaavat bijektiivisesti toisiaan. Konstruoitavissa olevat kulmat muodostavat Abelin ryhmän, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku modulo 2π, tai yhtäpitävästi yksikköympyrällä olevia pisteitä vastaavien kompleksilukujen kertolasku. Konstruoitavissa olevia kulmia ovat ne ja vain ne, joiden tangentti (tai yhtäpitävästi sini tai kosini) lukuna on konstruoitavissa. Esimerkiksi 30, 45 ja 60 sekä myös 36 ja 72 asteen kulmat ovat konstruoitavissa, 20 asteen kulma sen sijaan ei ole.

Kolme suurta probleemaa

Antiikin kolmena suurena matematiikan ongelmana tunnetaan kolme konstruktiotehtävää:

1. ympyrän neliöiminen (on konstruoitava neliö, jonka pinta-ala on sama kuin annetun ympyrän),
2. kulman kolmiajako eli kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan ja
3. kuution kahdentaminen (tunnetaan myös nimellä Deloksen probleema: on konstruoitava kuutio, jonka tilavuus on kaksi kertaa niin suuri kuin annetun kuution).

Näiden tehtävien ratkaiseminen pelkästään harpin ja viivoittimen avulla on lopullisesti osoitettu mahdottomiksi 1800-luvulla (ks. edempänä).

Ympyrän neliöiminen voidaan todistaa mahdottomaksi huomaamalla, että harpilla ja viivaimella saatujen reaalilukujen kunnan laajennuksen aste on kakkosen potenssi reaalilukujen kunnan suhteen, kun taas ympyrän neliöimisen ollessa mahdollista olisi luvun $\pi$ minimaalipolynomin oltava kakkosen potenssi. Mutta koska $\pi$ on transkendenttiluku, on ympyrän neliöiminen harpilla ja viivaimella mahdotonta.

Kulman kolmijaon mahdottomuus harpilla ja viivaimella perustuu jälleen algebrallisten laajennusten asteisiin. Kulman kolmijako johtaa aina jaottomaan kolmannen asteen yhtälöön, joka ei ole kakkosen potenssi. Helpoiten tämä huomataan kehittämällä $\cos(3\alpha )$ kolmannen asteen yhtälöksi $\cos(3\alpha )=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$. Kun valitaan $\alpha =2\pi /3$, päädytään jaottomaan yhtälöön $8x^{3}-6x+1=0$, missä on merkitty $x:=\cos \alpha$.

Kuution kahdentaminen johtaa luvun 2 kuutiojuuren (${\sqrt[{3}]{2}}$) konstruoimiseen. Tämän minimaalipolynomi kunnan $\mathbb {Q}$ suhteen on $x^{3}-2$, joka on esimerkiksi Eisensteinin kriteerion perusteella jaoton. Näin ollen harpilla ja viivoittimella ei voida piirtää janaa, jonka pituus on yhtä suuri kuin annetun janan pituus kerrottuna ${\sqrt[{3}]{2}}$:lla, eikä siis myöskään kahdentaa kuutiota.

Säännölliset monikulmiot

Pääartikkeli: Konstruoituva monikulmio

Niin ikään säännöllisen monikulmion piirtäminen askarrutti aikoinaan matemaatikoita. Säännöllinen kolmi- ja nelikulmio eli tasasivuinen kolmio ja neliö voidaan helposti piirtää harpilla ja viivoittimella, ja jo antiikin aikana osattiin täten piirtää myös säännöllinen viisikulmio. Carl Friedrich Gauss osoitti vuonna 1798, että säännöllinen p-kulmio voidaan konstruoida geometrisesti ainakin, jos p on 2:n potenssi, Fermat'n alkuluku tai 2:n potenssien ja erisuurten Fermat'n alkulukujen tulo. Tunnetut Fermat'n alkuluvut ovat 3, 5, 17, 257 ja 65537. Näin ollen myös esimerkiksi säännöllinen 17-, 257- ja 65537-kulmio voidaan piirtää harpilla ja viivoittimella, joskin konstruktiot ovat sangen moni­mutkaisia. Hän julkaisi tuloksensa kirjassaan Disquisitiones arithmeticae vuonna 1801 ja arveli myös, että muita konstruoituvia säännöllisiä monikulmioita ei ole, minkä kuitenkin todisti vasta Pierre Wantzel vuonna 1836. Wantzelin todistuksen ansiosta voitiin vastata täsmällisesti siihen kysymykseen, mitkä monikulmiot voidaan konstruoida geometrisesti: ne, joissa sivujen lukumäärän parittomat alkutekijät ovat erisuuria Fermat'n alkulukuja. Sataa pienemmistä sivujen luku­määristä tämän ehdon toteuttavat seuraavat: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 50, 51, 60, 64, 68, 80, 85 ja 96.

Yleisesti pätee seuraava lause:

Luku $\alpha$ on konstruoituva jos ja vain jos $\alpha$ kuuluu laajennukseen $\mathbb {Q} [{\sqrt {a_{1}}},\ldots ,{\sqrt {a_{r}}}],a_{i}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {a_{1}}},\ldots ,{\sqrt {a_{i-1}}}]$.

Neusis-konstruktiot

Antiikin aikanakin tehtiin konstruktioita myös monipuolisemmalla työkalupakilla, ns. neusis-konstruktioita. Neusis-konstruktiossa on luvallista merkitä annettu etäisyys suoralle ja sitten "liu'uttaa" suora haluttuun asemaan. Tavallaan käytössä on siis mittaviivain. Arkhimedes jakoi kulman kolmeen osaan neusis-konstruktiolla. Myös kuution kahdentaminen on mahdollinen neusis-konstruktiona mutta ympyrän neliöiminen ei. Perinteeksi kuitenkin muodostui sallia konstruktioissa ainoastaan harpin ja viivaimen käyttö. On jopa suhtauduttu epäillen sellaisiin konstruktioihin, joiden alkuehtona oletetaan jotain, mitä ei voi harpin ja viivaimen avulla konstruoida, kuten säännöllinen yhdeksänkulmio tai kolmeen osaan jaettu kulma.

Katso myös

Seuraavissa artikkeleissa on selostettu konstruktion tekemistä.

• Kulmanpuolittaja, Janan keskipiste, Keskinormaali, Tangentti ympyrälle
• Säännöllinen viisikulmio

Kirjallisuutta

• Mika Kähkönen: Ympyrän neliöimisestä. Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto, 2009.