Ero sivun ”Painopiste” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
[katsottu versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
kaipa tämä on sitten oikein
Merkkaus: Palautettu manuaalisesti aiempaan versioon
Ei muokkausyhteenvetoa
Merkkaus: Tämä muokkaus on kumottu
Rivi 29: Rivi 29:
ja y-koordinaatti vastaavasti kaavasta <math>y_0=\frac{\sum{m_iy_i}}{\sum{m_i}}</math>
ja y-koordinaatti vastaavasti kaavasta <math>y_0=\frac{\sum{m_iy_i}}{\sum{m_i}}</math>


Vastaavat integraaleina: <math> r_0 = \frac{\int_A{r}\rho(x,y,z) ~dxdydz}{\int_A{}\rho(x,y,z) ~dxdydz},</math>
Vastaavat integeraaleina: <math> r_0 = \frac{\int_A{r}\rho(x,y,z) ~dxdydz}{\int_A{}\rho(x,y,z) ~dxdydz},</math>


jossa <math> A</math> kattaa koko määriteltävän kappaleen tilan ja [[vektori]] <math>r</math> sisältää kaikki [[koordinaatit]].
jossa <math> A</math> kattaa koko määriteltävän kappaleen tilan ja [[vektori]] <math>r</math> sisältää kaikki [[koordinaatit]].

Versio 25. tammikuuta 2021 kello 16.19

Painopisteen lainalaisuuksien vuoksi tätä lintulelua pystyy kannattelemaan yhdellä sormella sen nokasta.

Painopiste on, suuresti yksinkertaistaen, kappaleessa oleva kohta, johon kappaleelle luontainen painovoima vaikuttaa samalla tavalla kuin se vaikuttaa kappaleen jokaiseen kohtaan erikseen. Se on tavallaan kappaleeseen vaikuttavan painovoiman vaikutuspiste. Myös useampien kappaleen systeemeille tunnetaan painopisteen käsite.[1]

Jokaiseen kappaleen atomiin vaikuttaa pystysuora voima, joka on syntyisin esimerkiksi planeetta Maan gravitaatiokentästä. Maa vetää puoleensa kutakin atomia voimilla, jotka osoittavat lähes yhdensuuntaisina kohti Maan keskipistettä. Yhdensuuntaisina näiden voimien resultantti on samalla myös kappaleen paino. Käännettiinpä kappaletta painovoimakentässä eri asentoihin, kulkee kappaleen resultanttivoima, eli painovoima, aina yhden saman pisteen kautta. Tätä pistettä kutsutaan kappaleen painopisteeksi.[1]

Painovoima vaikuttaa kappaleeseen kuin sen koko massa olisi keskittynyt sen painopisteeseen. Siksi sitä kutsutaan myös massakeskipisteeksi. Massakeskipiste on kuitenkin eri asia kuin painopiste, sillä niiden paikat eroavat, jos painovoimakenttä ei ole homogeeninen. Massakeskipiste on kappaleen sisäinen ominaisuus, joka riippuu vain atomien painoista ja sijainneista eli massajakaumasta. Painovoima riippuu massajakauman lisäksi ulkopuolisen gravitaatiokentän rakenteesta.[2]

Painopisteen määritelmä

Kappaleen eri osiin kohdistuvat painovoiman vetovoimat aiheuttavat samansuuruisen momentin referenssipisteen suhteen kuin painopisteeseen vaikuttava koko kappaleen paino. Asettamalla referenssipiste origoon, merkitsemällä kappaleen painopistettä ja kappaleen muiden osien pisteitä sekä kappaleen painovoimaa ja muiden osien painoja , voidaan momenttien avulla laskea koordinaatit

Jos painovoima on suoraan verrannollinen massaan eri kohdissa, voidaan supistaa putoamiskiihtyvyydet pois ja saadaan painopisteen koordinaateiksi samat koordinaatit kuin massakeskipisteelläkin

Yleisempi määritelmä painopisteelle saadaan integroimalla massajakaumaa

jossa differentiaalimuodolle pätee

,

missä on kappaleen tiheysjakauma, joka ei välttämättä ole vakio, ja on tilavuuselementti.

Muuta

Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painon vaikutussuora kulkee kappaleen asennosta riippumatta. Jos kappaletta tuetaan painopisteestä, on kappale tasapainossa missä asennossa tahansa.

Kappaleen painopiste ei aina sijaitse itse kappaleen sisällä, vaikka näin useimmissa tapauksissa onkin. Esimerkiksi toruksen painopiste ei sijaitse itse kappaleessa.

Painopisteen määrittäminen

Painopisteen x-koordinaatti saadaan kaavasta

ja y-koordinaatti vastaavasti kaavasta

Vastaavat integeraaleina:

jossa kattaa koko määriteltävän kappaleen tilan ja vektori sisältää kaikki koordinaatit.

Katso myös

Lähteet

  1. a b Simons, Lennart: Fysiikka korkeakouluja varten, s. 32. Porvoo: WSOY, 1963.
  2. Lehto, Heikki et. al.: Fysiikka - Pyöriminen ja gravitaatio, s. 61-64. Helsinki: TAMMI, 2010. ISBN 978-951-31-5296-3.