Kvasiryhmä

Kvasiryhmä (quasigroup) on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta G ja siinä määritellystä binäärioperaatiosta *. Magmasta poiketen kvasiryhmässä jakaminen on aina mahdollista. Useimmat kvasiryhmät eivät ole assosiatiivisia. Yksikköalkiollisia kvasiryhmiä kutsutaan luupeiksi (loop).

Määritelmiä

Kvasiryhmälle on käytössä kaksi formaalia määritelmää. Toinen määrittelee kvasiryhmän yhdellä binäärioperaatiolla ja toinen kolmella.

Määritelmä 1

Kvasiryhmä (Q, *) tarkoittaa joukkoa Q ja sellaista siinä määriteltyä *, jolle jokaista joukon Q alkiota a ja b kohti on olemassa yksikäsitteiset joukon Q alkiot x ja y, joille pätee

• a*x = b ,
• y*a = b .

Näiden yhtälöiden yksikäsitteiset ratkaisut kirjoitetaan usein x = a \ b ja y = b / a. Operaatiota \ ja / kutsutaan vasemmalta ja oikealta jakamiseksi (vrt. matriiseilla vasemmalta ja oikealta kertominen).

Määritelmä 2

Universaalissa algebrassa kvasiryhmä (Q, *, \, /) on joukko ja siinä määritellyt kolme binäärioperaatiota, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

• y = x * (x \ y) ,
• y = x \ (x * y) ,
• y = (y / x) * x ,
• y = (y * x) / x .

Esimerkkejä

• Kokonaisluvut Z ja vähennyslasku muodostavat kvasiryhmän.

Perustelu: Kun a ja b ovat kokonaislukuja, a - x = b ja y - a = b, kun x = a - b ja y = b - (-a). Tämä kvasiryhmä on itseasiassa luuppi, koska nolla on yksikköalkio vähennyslaskun suhteen. Se on jopa assosiatiivisuutta vaille ryhmä: kun a, b ja c ovat kokonaislukuja, yleensä a - (b - c) ≠ (a - b) - c. Esimerkiksi 2 = 1 - (2 - 3) ≠ (1 - 2) - 3 = -4.

Lue myös

• Ryhmä
• Magma