Hermiittinen matriisi

Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä hermitoitu matriisi, eli matriisi on oman transpoosinsa kompleksikonjugaatti. Toisin sanoen rivillä $i$ ja sarakkeella $j$ oleva alkio on rivillä $j$ ja sarakkeella $i$ olevan alkion kompleksikonjugaatti:

$a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}$

Voidaan myös merkitä:

$A=A^{*}\quad$,

tai kuten on tavallisempaa fysiikassa

$A=A^{\dagger }\,.$

Esimerkiksi

${\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}$

on hermiittinen matriisi.

Hermiittisen matriisin ominaisuuksia

Jokaisen hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain, jos se on symmetrinen matriisi, eli jos se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.

Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, joten siihen voidaan soveltaa spektraalilausetta. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaarisen matriisin avulla ja syntyneen diagonaalimatriisin alkiot ovat reaalilukuja. Tästä seuraa kaksi keskeistä tulosta:

• Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.
• Eri suuruisiin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat toisiinsa nähden ortogonaalisia.

On siis mahdollistä löytää $\mathbb {C} ^{n}$:n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.

Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien $A$ ja $B$ tulo on hermiittinen vain, jos matriisit kommutoivat, eli $AB=BA$.

Hermiittiset $n\times n$-matriisit muodostavat vektoriavaruuden reaalilukujen suhteen, mutta eivät kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavaruuden dimensio on $n^{2}$. (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, matriisi on positiivisesti semidefiniitti.

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9.