Ero sivun ”Matemaattinen induktio” versioiden välillä
[katsottu versio] | [katsottu versio] |
p Botti lisäsi luokkaan Seulonnan keskeiset artikkelit |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 49: | Rivi 49: | ||
<ref name=vtt>[http://www.infotech.oulu.fi/GraduateSchool/ICourses/2006/phd/vocabulary1v11.pdf Aarne Mämmelä (toim.) 2006. Vocabulary of a doctoral student]</ref> |
<ref name=vtt>[http://www.infotech.oulu.fi/GraduateSchool/ICourses/2006/phd/vocabulary1v11.pdf Aarne Mämmelä (toim.) 2006. Vocabulary of a doctoral student]</ref> |
||
}} |
}} |
||
== Kirjallisuutta == |
|||
* {{Kirjaviite | Tekijä=Rikkonen, Harri | Nimeke=Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1969 | Tunniste=ISBN 951-671-022-0}} |
|||
[[Luokka:Algebra]] |
[[Luokka:Algebra]] |
Versio 3. joulukuuta 2016 kello 07.17
Matemaattinen induktio on matemaattinen todistusmenetelmä, joka kuuluu matemaattisen algebran päähaaraan.
Matemaattinen induktio perustuu induktioperiaatteeseen, jolla todistetaan luonnollista lukua koskeva väite todeksi kaikilla luvun arvoilla. Teknisesti induktiotodistus koostuu kolmesta vaiheesta:
- Perusaskel
- Osoitetaan esimerkin kautta, että on tosi
- Induktioaskel
- Induktio-oletus: oletetaan, että on tosi arvolla
- Induktioväite: väitetään, että tosi arvolla
- Todistus: todistetaan, että induktio-oletuksesta seuraa induktioväite
- Johtopäätös
- Induktioaskeleessa todistettiin, että on tosi aina seuraavalla luvun arvolla. Koska on tosi, niin myös on tosi kaikilla luonnollisilla luvuilla .
Toisin kuin induktiivisessa päättelyssä, matemaattiseen induktioon ei sisälly Humen ongelmaa, sillä matemaattinen induktio on rekursioon perustuvaa todistamista eli pätevää deduktiivista päättelyä. Todistus perustuu rekursiorelaation avulla määriteltyyn äärettömän joukon säännönmukaisuuteen, joka todistuksessa yleistetään koko joukkoon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoon. Matemaattinen induktio voidaan myös samaistaa täydellisen induktion kanssa, sillä siinä käydään rekursiivisesti kaikki mahdolliset yksittäistapaukset läpi.[1][2]
Esimerkki
Todistetaan oikeaksi kaava
- Perusaskel:
- Näytetään, että pätee:
- Induktioaskel:
- Induktio-oletus: on tosi. (Varmaksi tiedetään jo siis paikkansapitävyys.)
- Induktioväite: on tosi. Toisin sanoen
- Induktio-oletuksen nojalla voidaan tehdä sijoitus , jolla yhtälön vasen puoli saadaan muotoon
- Jos tämä voidaan esittää samassa muodossa kuin induktioväitteen oikea puoli, niin induktiotodistus on saatettu loppuun. Induktioväite on tosi, koska
- Johtopäätös:
- Tästä siis seuraa, että kaava pätee arvolla . Kaavan todettiin alussa pitävän paikkansa, kun . Näiden kahden seurauksena kaava pitää paikkansa myös arvoilla
Katso myös
- Induktiivinen päättely (yksittäisestä tapauksesta yleiseen tapaukseen)
- Deduktiivinen päättely (yleisestä tapauksesta yksittäiseen tapaukseen)
Lähteet
Kirjallisuutta
- Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.