Ero sivun ”QR-hajotelma” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
p typo |
p w |
||
| Rivi 3: | Rivi 3: | ||
:<math>A=QR\,</math>, |
:<math>A=QR\,</math>, |
||
missä <math>Q</math> on <math>m \times m</math> [[unitaarimatriisi]] ja <math>R</math> on <math>m \times n</math> [[kolmiomatriisi|yläkolmiomatriisi]]. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin ''A'' tapauksessa <math>Q</math> on [[ortogonaalimatriisi]]. Koska kahden [[kolmiomatriisi]]n tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi sisältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin |
missä <math>Q</math> on <math>m \times m</math> [[unitaarinen matriisi|unitaarimatriisi]] ja <math>R</math> on <math>m \times n</math> [[kolmiomatriisi|yläkolmiomatriisi]]. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin ''A'' tapauksessa <math>Q</math> on [[ortogonaalimatriisi]]. Koska kahden [[kolmiomatriisi]]n tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi sisältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin |
||
:<math>A= QR_1R_2R_3...\,</math> |
:<math>A= QR_1R_2R_3...\,</math> |
||
Versio 7. huhtikuuta 2016 kello 21.05
QR-hajotelma on eräs matriisihajotelma, jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu matriisi jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen -matriisin QR-hajotelma on tulo
- ,
missä on unitaarimatriisi ja on yläkolmiomatriisi. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin A tapauksessa on ortogonaalimatriisi. Koska kahden kolmiomatriisin tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi sisältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin
Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa Gramin–Schmidtin ortonormeeraukseen, mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko Householderin peilausmatriiseilla tai Givensin rotaatiomatriiseilla.
QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu lineaariavaruuksien projektioiden käsittelyssä ja sitä käytetään yleisesti myös matriisien numeerisessa käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä matriisin rangi eli kuva-avaruuden dimensio ja hajotelman matriisista löytyy myös kuva-avaruuden kanta ortonormeerattuna.