Ero sivun ”Algebrallinen luku” versioiden välillä

Siirry navigaatioon Siirry hakuun
9 merkkiä poistettu ,  7 vuotta sitten
clean up, typos fixed: ensinma → ensin ma using AWB
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
(→‎Merkintä: reaali->kompleksi)
(clean up, typos fixed: ensinma → ensin ma using AWB)
'''Algebrallinen luku''' tarkoittaa sellaista [[reaaliluku|reaali-]] tai [[kompleksiluku]]a <math>a</math>, joka on [[kokonaisluku]]kertoimisen [[polynomi]]n <math>P(x)</math> [[nollakohta]] eli toteuttaa yhtälön <math>P(a) = 0</math>. Polynomin
:<math>P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0</math>
[[Aste (polynomi)|aste]] tulee olla [[positiivinen luku|positiivinen]], jolloin vähintään yksi kertoimista <math>a_k\in \Z, k=1,\dotsc,n </math> poikkeaa nollasta. Jos vain <math>a_0</math> poikkeaa nollasta, on kyseessä [[vakiofunktio]], joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen. <ref name=ww5/>
 
Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on <math>1</math> ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan '''pääpolynomiksi'''. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan '''algebralliseksi kokonaisluvuksi''' tai '''kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi'''. <ref name=ww7/><ref name=mj/>
 
Määritelmästä seuraa [[algebran peruslause]]en mukaisesti, että polynomin nollakohdan <math>a \in \Z</math> avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi <math>x - a</math>. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan '''minimaalipolynomiksi'''. Minimaalipolynomin '''aste''' on samalla '''algebrallisen luvun aste'''. <ref name=mj/><ref name=ww6/>
 
Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa '''konjugaatteja'''. <ref name=mj3/>
 
==Johdanto==
===Merkintä===
Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus <math>\mathbb{A}</math> tai <math>\overline{\Q}</math>. Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli <math>\C \smallsetminus \mathbb{A}</math>, kutsutaan [[transkendenttiluku|transkendenttiluvuiksi]]. <ref name=ww5/>
 
===Algebrallinen yhtälö===
Jos polynomi <math>P(x)= ax - b</math> kerroin <math>a = 1</math>, saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä <math> \Z \subset \mathbb{A}</math>. Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön
:<math>ax - b =0 \Leftrightarrow x = \frac {b}{a}.</math>
Silloin on myös <math> \Q \subset \mathbb{A}</math>. <ref name=mj/>
 
====Toisen asteen luvut====
* [[Kultainen leikkaus]] on luku
:<math>\phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=1{,}61803\dots,</math>
joka on polynomin <math>x^2+x-1=0\,</math> nollakohta. <ref name=ww5/>
* [[Kompleksiluku|Imaginaariyksikkö]] <math>i</math> on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se toteuttaa yhtälön <math>x^2+1=0</math>.
 
* Kaikki luvut, jotka saadaan polynomin kertoimista peruslaskutoimituksilla ja n-asteisella juuretuksella, ovat algebrallisia lukuja.
 
* [[Trigonometriset funktiot]], joiden argumenttina olevalla <math>\pi</math>:llä on [[rationaaliluku|rationaalikerroin]], ovat algebrallisia lukuja. Esimerkiksi jokainen algebrallinen luku <math>\cos (\pi/7)</math>, <math>\cos (3\pi/7)</math> ja <math>\cos (5\pi/7)</math> on minimaalipolynomin <math>8x^3 - 4x^2 - 4x + 1 = 0</math> nollakohta. Tämä tekee luvuista toistensa kolmannen asteen ''konjugaatteja''.
 
*Myös luvut <math>\tan (3\pi/16)</math>, <math>\tan (7\pi/16)</math>, <math>\tan (11\pi/16)</math> ja <math>\tan (15\pi/16)</math> ovat minimaali- ja pääpolynomin <math>x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4x + 1</math> nollakohtia ja ovat toistensa neljännen asteen konjugaatteja ja algebrallisia kokonaislukuja.
==Algebrallisten lukujen yleisiä ominaisuuksia==
===Algebralliset luvut===
* Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku <math>a + bi</math> on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut <math>a</math> ja <math>b</math> ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku <math>a - bi</math> algebrallinen. Näitä lukuja kutsutaan [[Gaussin kokonaisluku|Gaussin kokonaisluvuiksi]]. <ref name=ww5/><ref name=mj/>
 
===Tiheys===
Algebrallisten lukujen joukko on [[tiheä joukko|tiheä]], jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensinmainitutensin mainitut kaksi lukua olivat. <ref name=mj2/>
 
===Algebrallisten lukujen mahtavuus===
Algebrallisten luvut ovat [[numeroituva joukko|numeroituvasti ääretön]] joukko, jonka [[mahtavuus]] on siis <math>\aleph_0</math> <ref name=ww2/>. Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin [[ylinumeroituva joukko|ylinumeroituvasti ääretön]]. <ref name=mj2/><ref name=brown/>
 
==Aiheeta muualla==
}}
{{Lukujoukkoja}}
 
[[Luokka:Algebra]] [[Luokka:Lukuavaruudet]]
[[Luokka:Algebra]]
[[Luokka:Algebra]] [[Luokka:Lukuavaruudet]]
10 638

muokkausta

Navigointivalikko