Murtoluku

Kakku, josta on leikattu pois yksi neljäsosa, jäljellä kolme neljäsosaa.

Murtoluku on kahden kokonaisluvun osamääräksi kirjoitettu luku. Murtoluvut kirjoitetaan muodossa ${\frac {m}{n}}$ tai ^m⁄_n. Murtoluvuissa jaettavaa (m) sanotaan osoittajaksi ja jakajaa (n) nimittäjäksi. Kaikki rationaaliluvut voidaan esittää murtolukuina, eli murtoluku on eräs rationaaliluvun esitystapa.

Varsinainen murtoluku, epämurtoluku ja sekaluku

Murtolukua, jonka osoittaja on itseisarvoltaan pienempi kuin nimittäjä, sanotaan varsinaiseksi murtoluvuksi. Päinvastaisessa tapauksessa on kyseessä epämurtoluku. Jokainen positiivinen varsinainen murtoluku on arvoltaan pienempi kuin 1, epämurtoluku taas suurempi kuin 1. Jos osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret, murtoluku on arvoltaan tasan 1. Murtoluvun käänteisluku saadaan vaihtamalla sen osoittaja ja nimittäjä keskenään. Esimerkiksi luvut ³⁄₄ ja ⁴⁄₃ ovat toistensa käänteislukuja. Varsinaisen murtoluvun käänteisluku on siis epämurtoluku ja päinvastoin. Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1.

Lukua 1 suuremmat rationaaliluvut ilmaistaan usein myös ns. sekalukuina eli kokonaisluvun ja varsinaisen murtoluvun summana; tällöin kuitenkin yhteenlaskumerkki (+) jätetään merkitsemättä. Esimerkiksi luku ⁴⁄₃ on sekalukuna 1+¹⁄₃.

Murtolukujen nimet

Yksikkömurtoluvuiksi kutsutaan murtolukuja, joiden osoittaja on 1. Suomen kielessä yksikkömurtolukujen nimet muodostetaan lisäämällä nimittäjää vastaavan järjestyslukusanan jälkeen sana -osa. Esimerkiksi ¹⁄₃ on kolmasosa (tai yksi kolmasosa). Pieniä nimittäjiä vastaaville yksikkömurtoluvuille käytetään myös nimityksiä, joissa nimittäjää vastaavaan kardinaalilukusanaan lisätään johdin -nnes, esimerkiksi ¹⁄₃ on kolmannes. Luku ¹⁄₂ on kuitenkin nimeltään puoli.

Muut murtoluvut lausutaan sanomalla ensin osoittaja, sen jälkeen nimittäjää vastaava yksikkömurtoluku partitiivimuodossa. Esimerkiksi ²⁄₃ on kaksi kolmasosaa eli kaksi kolmannesta.

Monissa muissa kielissä, esimerkiksi englannissa, yksikkömurtolukujen niminä (kun nimittäjä on vähintään 3) käytetään vastaavia järjestyslukusanoja sellaisenaan.

Laventaminen ja supistaminen

Murtoluvun arvo ei muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tällaista murtoluvun muuntamista toiseen muotoon sanotaan laventamiseksi ja kerrointa laventajaksi. Murtoluvun arvo ei myöskään muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Tällaista muuntamista sanotaan supistamiseksi ja lukua, jolla ne jaetaan, supistajaksi.

Murtoluvun määritelmän mukaan osoittaja ja nimittäjä tulee olla kokonaislukuja. Siksi murtoluku voidaan supistaa vain luvulla, joka on osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä.

Tavallisimmin tällainen murtoluku supistetaan niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä. Esimerkiksi murtoluku ⁸⁄₁₂ voidaan supistaa muotoon ²⁄₃, koska lukujen 8 ja 12 suurin yhteinen tekijä on 4. Murtoluku saadaan siten sievimpään muotoonsa eli murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat mahdollisimman pienet kokonaisluvut.

Kun murtolukuja vertaillaan tai niitä lasketaan yhteen, ne lavennetaan samannimisiksi, toisin sanoen siten, että murtoluvuilla on yhteinen nimittäjä, joka on alkuperäisten murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen jaettava. Kerto- ja jakolaskussa laventaminen ei ole tarpeellista.

Suuruusjärjestys

Murtoluvuista, joilla on sama positiivinen nimittäjä, on se suurempi, jolla on suurempi osoittaja. Murtoluvuista, joissa sekä osoittaja että nimittäjä ovat positiivisia ja joilla on sama osoittaja, on se suurempi, jolla on pienempi nimittäjä. Niinpä esimerkiksi ²⁄₇ on pienempi kuin ³⁄₇, mutta ²⁄₇ on suurempi kuin ²⁄₉.

Murtoluvut ovat yhtäsuuret, jos niillä on sievimpään muotoonsa supistettuna samat esitykset. Esimerkiksi ⁴⁄₆ ja ²⁄₃ ovat yhtä suuret, koska ⁴⁄₆ voidaan supistaa kahdella ja saadaan ²⁄₃. Samansuuruus selviää käytännössä myös supistamalla tai laventamalla murtoluvut samannimisiksi, jolloin osottajat tulevat myös samoiksi.

Jos murtoluvuilla ei ole samaa osoittajaa eikä samaa nimittäjää, ne voidaan laventaa samannimisiksi, jolloin niistä se on suurempi, jolla on suurempi osoittaja. Jos murtoluvut lavennetaan siten, että niillä on sama osoittaja, on se murtoluku suurempi, jolla on pienempi nimittäjä.

Kahden murtoluvun väliin voidaan luoda yksinkertaisesti uusi murtoluku yksinkertaisesti. Esimerkiksi ²⁄₇ on pienempi kuin ⁴⁄₉. Silloin ^{(2 + 4)}⁄_{(7 + 9)} = ⁶⁄₁₆ on uusi murtoluku, joka on samalla isompi kuin ²⁄₇ ja pienempi kuin ⁴⁄₉ eli ²⁄₇ < ⁶⁄₁₆ < ⁴⁄₉.

Laskutoimitukset

Yhteen- ja vähennyslasku

Murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, lasketaan yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen; nimittäjä pysyy ennallaan. Samoin murtoluvusta vähennetään toinen murtoluku vähentämällä ensimmäisen murtoluvun osoittajasta jälkimmäisen osoittaja; nimittäjä pysyy tällöinkin ennallaan. Niinpä esimerkiksi ¹⁄₅ + ²⁄₅ = ³⁄₅ ja ¹⁄₅ − ²⁄₅ = ¹⁄₅.

Jos murtoluvuilla on eri nimittäjä, ne on ensin lavennettava samannimisiksi, minkä jälkeen osoittajat lasketaan yhteen tai vähennetään. Summana tai erotuksena saatu murtoluku supistetaan, jos mahdollista.

Kertolasku

Murtoluvut kerrotaan keskenään kertomalla niiden osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään.

Esimerkki: ${\frac {1}{5}}\cdot {\frac {4}{6}}={\frac {1\cdot 4}{5\cdot 6}}={\frac {4}{30}}$

Jakolasku

Murtolukujen jakolaskuun on käytössä pari käyttökelpoista tapaa: 1. Kerrotaan ensimmäinen murtoluku jälkimmäisen käänteisluvulla 2. Kerrotaan ristiin – ensimmäisen osoittajan (nimittäjän) ja jälkimmäisen nimittäjän (osoittajan) tulo muodostaa vastauksen osoittajan (nimittäjän)

Murtoluvut, desimaaliluvut ja sekaluvut

Rationaaliluvut voidaan esittää myös desimaalilukuina ja arvoltaan yli yhden olevat murtoluvut myös sekalukuina. Päättyvät desimaali­luvut ovatkin itse asiassa murtolukuja, joiden nimittäjä on jokin 10:n potenssi; esimerkiksi 0,25 = ²⁵⁄₁₀₀.

Murtolukua vastaava desimaaliluku on päättyvä vain, jos sen nimittäjä supistamisen jälkeen ei ole jaollinen muulla alkuluvulla kuin 2 ja 5. Muussa tapauksessa sitä vastaa päättymätön jaksollinen desimaaliluku.