Rationaaliluku

Rationaalilukujen joukko (ℚ) on reaalilukujen joukon osajoukko, jonka jäsenet voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna muodossa $\scriptstyle {\frac {m}{n}}$:

$\mathbb {Q} =\{x\mid x={m \over n},n\neq 0,m,n\in \mathbb {Z} \}$.

Tässä lukua m kutsutaan osoittajaksi ja lukua n nimittäjäksi. Murtoluku on siis kaikille rationaaliluvuille yhteinen esitysmuoto. Samaa rationaalilukua voi esittää useilla erilaisilla murtoluvuilla; yhtäsuuruuden k/l = m/n välttämättömänä ja riittävänä ehtona on yhtälö kn = lm edellyttäen ettei ln ole 0 (ristiin kertominen). Kaikki kokonaisluvut kuuluvat rationaalilukujen joukkoon, sillä kun n=1, niin m/n=m.

Rationaalilukujen joukkoa merkitään merkillä ℚ. Se on lukukunta eli reaalilukujen ja samalla myös kompleksilukujen kunnan ℂ sellainen osajoukko, joka sisältää kaikkien alkioidensa käänteisalkiot ja on suljettu yhteen- ja kertolaskun suhteen. ℚ on kaikkein suppein lukukunta.

Reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, sanotaan irrationaaliluvuiksi.

Jos murtoluvun nimittäjällä on vähintään kaksi erisuurta positiivista alkutekijää, niin murtoluku voidaan hajottaa osamurtoluvuiksi, joiden nimittäjät ovat yksinkertaisempia (alkuluvun potensseja). Esimerkiksi: $\scriptstyle {\tfrac {5}{6}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$.

Nollan ja yhden välillä oleva rationaaliluku voidaan hajottaa myös niin sanotuiksi egyptiläisiksi murtoluvuiksi. Rationaalilukuja on numeroituvasti ääretön määrä.

Katso myös

• Fareyn jono
• Kunta
• Laventaminen
• Supistaminen

Lähteet

Lukujoukkoja

Numeroituvia joukkoja:	luonnolliset luvut ($\scriptstyle \mathbb {N}$) kokonaisluvut ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) rationaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) algebralliset luvut ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$)
Reaaliluvut ja niiden laajennokset:	reaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {R}$) kompleksiluvut ($\scriptstyle \mathbb {C}$) kvaterniot ($\scriptstyle \mathbb {H}$) irrationaaliluvut transsendenttiluvut surreaaliluvut
Muita:	kardinaaliluvut p-adiset luvut