Funktioteoria

Funktioteoria eli kompleksianalyysi tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. Funktioteoria keskittyy derivoituvien (differentioituvien) kompleksimuuttujan funktioiden (analyyttisten eli holomorfisten funktioiden) tutkimiseen. Analyyttisten funktioiden teoria perustuu ratkaisevasti kompleksiseen integrointiin, joka huipentuu residylaskentaan (ranskaksi calcul des résidus, "jäännöslaskenta").

Suomessa on pitkät perinteet funktioteorian tutkimisessa. Tutkimussuunnan toi Suomeen Ernst Lindelöf, ja kansainvälistä huippua alalla ovat edustaneet mm. Rolf Nevanlinna ja ainoa suomalainen Fieldsin mitalisti, Lars Ahlfors.

Analyyttiset funktiot

Cauchyn määritelmä

Kompleksimuuttujan $z\neq \infty$ funktion $f(z)$ sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa $G$, jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty kyseisessä alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen $G$ jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta Augustin Louis Cauchy'lta. Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli

$f'(z):=\lim _{h\to 0}{f(z+h)-f(z) \over h}.$

Tässä siis myös luku $h$ on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva.

Riemannin määritelmä

Bernhard Riemann määritteli analyyttisen funktion toisella tavalla Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio

$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$

missä $z=x+iy$, voidaan esittää kahden reaalimuuttujan $x$ ja $y$ avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ on analyyttinen alueessa $G$, jos "osafunktiot" $u(x,y)$ ja $v(x,y)$ ovat derivoituvia aluetta $G$ vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt

${\begin{aligned}u_{x}(x,y)&=v_{y}(x,y)\quad {\text{ja}}\\u_{y}(x,y)&=-v_{x}(x,y).\end{aligned}}$

Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla $u(x,y)$ ja $v(x,y)$ on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat kyseisessä alueessa.

Merkitys

Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot $u(x,y)$ ja $v(x,y)$ toteuttavat niin sanotun Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti Laplacen yhtälön) kahdessa ulottuvuudessa

$U_{xx}(x,y)+U_{yy}(x,y)=0.$

Laplacen yhtälön kautta määriteltyjä funktioita, jotka siis ovat kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, sanotaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos kompleksifunktiolla on olemassa integraalifunktio eli funktio, jonka derivaatta kyseinen kompleksifunktio on, niin integraalifunktio on analyyttinen. Tässä tapauksessa alkuperäisen kompleksifunktion käyräintegraali alueessa $G$ riippuu vain käyrän päätepisteistä eikä siitä, mitä reittiä pitkin integrointi tehdään. Erityisesti käyräintegraali suljetun käyrän ympäri on aina nolla.

Lähteet

• Nevanlinna, Paatero: Funktioteoria, Otava 1963.