Ero sivun ”Funktion differentiaali” versioiden välillä
[katsottu versio] | [katsottu versio] |
Ak: Uusi sivu: File:Funktsiooni diferentsiaal.png|thumb|400px|Differentiaalin ja differenssin geometrista tulkinta. Kun siirrytään välin <math>\Delta x</math> verran (kuvassa PR), kasvaa fun... |
→Likiarvoista: tarkennus |
||
Rivi 46: | Rivi 46: | ||
=== Likiarvoista === |
=== Likiarvoista === |
||
Funktion lisäys eli differenssi on määritelty |
|||
:<math>\Delta y = f(a+h)-f(a)</math> |
:<math>\Delta y = f(a+h)-f(a)</math> |
||
joka voidaan esittää myös |
joka voidaan esittää myös differentiaalin avulla |
||
:<math>\Delta y = f'(x) \Delta x + \epsilon \Delta x = df(x) + \epsilon \Delta x = dy + \epsilon \Delta x </math> |
:<math>\Delta y = f'(x) \Delta x + \epsilon \Delta x = df(x) + \epsilon \Delta x = dy + \epsilon \Delta x </math> |
||
missä <math>\epsilon \Delta x \to 0</math> kun <math>\Delta x \to 0.</math> |
missä <math>\epsilon \Delta x \to 0</math> kun <math>\Delta x \to 0.</math> |
||
Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun ''h'' on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo |
|||
Rajallemenon loppuvaiheessa on jo |
|||
:<math>\Delta y \approx dy.</math> <ref name=Infinitesimal/><ref name=em/><ref name=khj2_53/> |
:<math>\Delta y \approx dy.</math> <ref name=Infinitesimal/><ref name=em/><ref name=khj2_53/> |
||
Versio 11. lokakuuta 2014 kello 13.38
Differentiaali on matematiikassa reaaliarvoisen funktion eräs sen muutosnopeutta määrittelevän lausekkeen tai mitan nimitys. Differenssi, joka tarkoittaa funktion todellista muutosta, jaetaan muutoksen lineaariseen osaan, eli differentiaaliin, ja korjaustermiin. Differentiaalin käsite on keskeisessä osassa differentiaalilaskennassa ja esimerkiksi derivaatan määritelmässä.[1][2][3]
Johdanto
Historia
Differentiaalit esitteli ensimmäisenä Gottfried Wilhelm Leibniz, jonka heuristinen ja intuitiivinen ajatus oli esittää dy äärimmäisen pienenä suureen y muutoksena. Muutos dy oli pienempi kuin mikään reaaliluku, mutta ei kuitenkaan aivan nolla. Tällaisia lukuja on kutsuttu infinitesimaaleiksi ja niiden käytön perinne juontaa Euroopassa Kreikan antiikkiin. Yhdessä muuttujanx muutoksen dx kanssa voitiin nyt esitellä muutosnopeus dy/dx, joka kutsutaan Leibnizin merkinnäksi derivaatalle. Vaikka luvut dy ja dx olisivatkin äärimmäisen pieniä lukuja ei osamäärä dy/dx sitä ole.
Koska infinitesimaalien käyttöä kritisoitiin voimakkaasti 1700- ja 1800-luvuilla, julkaisi Augustin-Louis Cauchy uuden differentiaalin määritelmän, joka ei enää käyttänyt infinitesimaalin käsitteitä määrittelyn perusteinaan. Sen sijaan se määriteltiin derivaatan avulla, joka taas määriteltiin raja-arvon avulla. Tästä alkoi kehitys, joka tarkensi analyysin käsitteiden perusteita tehden tästä matematiikan haarasta laajemmin hyväksytyn.
Infinitesimaaleista ei kuitenkaan päästy eroon. Monissa fysiikan ja tekniikan alalla sitä käytetään rinnakkain raja-arvoon perustuvan matematiikan rinnalla. Haluttomuus luopua infinitesimmaleista johtunee niillä laskemisen vaivattomuudesta.[4]
Merkitys
Yhden muuttujan tapauksessa (viereinen kuvaaja) tarkastelupisteeseen piirretty tangentti erottaa differenssistä (kuviossa RS) differentiaalin (RQ), joka jää kuviossa tangentin alle. Differentiaali on siten funktion muutoksessa sen lineaarinen komponentti ja se kuvaa melko tarkasti funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä. Differenssi, joka on funktion todellinen muutos, on melkein saman suuruinen kuin differentiaali. Korvaamalla differenssi differentiaalilla tehdään pieni virhe. Raja-arvotilanteessa, kun väli lyhenee melkein nollaksi, pienenee virhe hyvin pieneksi, joten tarkastelupisteessä differentiaalia voisi käyttää erotusosamäärän lausekkeessa (derivaatan määrittämiseksi) yhtä hyvin kuin differenssiäkin. Monesti funktion kulkua tarkastelupisteessä kuvataankin tangenttisuoralla, jonka derivaatta on sama kuin funktion käyrällä. Differentiaalit liittyvätkin muutostarkasteluihin, joissa funktion käyrä tai pinta korvataan tangentin suuntaisilla vektoreilla. Funktion differenssit lasketaan silloin likiarvoilla [5][6][7]
Differenssi
Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan x arvoilla. Kun funktion arvo lasketaan arvolla , saadaan Siirrytään sopivan matkan etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo Funktion arvojen differenssi (engl. difference eli erotus) pisteessä on [2][5][8]
Usein tämä merkitään myös
Differentiaali ja korjaustermi
Merkitään virhefunktiota ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta x ja siirtymästä h. Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten [2][5]
Voidaan osoittaa, että jos korjaustermi pienenee olemattomaksi
on funktio derivoituva kyseisessä pisteessä x.
Kertomalla edellinen yhtälö luvulla h, saadaan [2][5][7]
Sama yhtälö voidaan merkitä myös
eli
Yhtälön vasenta puolta kutsutaan differenssiksi ja oikealla puolella ovat differentiaali , joka merkitään joskus , ja korjaustermi Merkinnällä viitataan funktion arvojen (vanhanaikaiseen) infinitesimaaliseen muutokseen.[9]
Merkintöjä
Kun käytetään suureita ja ja suure riippuu suureesta , voidaan differentiaali merkitä [5][7]
tai
kun ollaan hyvin lähellä tarkastelupistettä eli
Jos tunnetaan :n lauseke , voidaan merkitä myös [4]
Likiarvoista
Funktion lisäys eli differenssi on määritelty
joka voidaan esittää myös differentiaalin avulla
missä kun Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun h on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo
Lähteet
- Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, 2013
- Hassi, Seppo: Matemaattiset menetelmät II (luentomoniste), Vaasan yliopisto, 2014
Viitteet
- ↑ Weisstein, Eric W.: Differential (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b c d Kivelä, Simo K. & Nurmiainen, Riikka & Spåra, Mika: Differentiaali, 2001
- ↑ Zeng, Anping: Geometric Difference between a Finite Difference and a Differential, Wolfram demostrations, 2014
- ↑ a b c Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, luku 2 (Differentiation), s. 53-60 2013
- ↑ a b c d e f Encyclopedia of Math: Differential, katsottu 10.10.2014
- ↑ Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, luku 2 (Differentiation), s. 46-52, 2013
- ↑ a b c Hassi, Seppo: Matemaattiset menetelmät II, s.8-14
- ↑ Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, luku 2 (Differentiation), s. 45, 2013
- ↑ a b Weisstein, Eric W.: Infinitesimal (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Aiheesta muualla
- Johdatus analyysiin (Luentomoniste), Kurssin sivusto, Tampereen yliopisto, 2011
- Karjalainen, Tiina: Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa (tutkielma), 2011, Tampereen yliopisto
- Kock, Anders: Synthetic Differential Geometry, Cambridge University Press., 2006, (englanniksi)
- Goursat, Édouard: A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: Dover Publications, 1904 (julkaistu 1959)