Algebrallinen luku

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua $a$, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin $P(x)$ nollakohta eli toteuttaa yhtälön $P(a)=0$. Polynomin

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$

aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista $a_{k}\in \mathbb {Z} ,k=1,\dotsc ,n$ poikkeaa nollasta. Jos vain $a_{0}$ poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen.

Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on $1$ ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi.

Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan $a\in \mathbb {Z}$ avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi $x-a$. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste.

Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja.

Johdanto

Merkintä

Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus $\mathbb {A}$ tai ${\overline {\mathbb {Q} }}$. Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli $\mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {A}$, kutsutaan transkendenttiluvuiksi.

Algebrallinen yhtälö

Algebrallisen yhtälön juuret ovat algebrallisisia lukuja. Algebrallinen yhtälö muodostetaan laskettaessa polynomin nollakohtia

$P(x)=0$

eli

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=0,$

missä $a_{k}\in \mathbb {Z} ,k=0,\dotsc ,n.$ Joskaus yhtälön ensimmäisen termin kerroin $a_{0}(\neq 0)$ jaetaan molemmilta puolista pois, jolloin saadaan pääpolynomin yhtälö

$x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}=0,$

ja jonka kertoimet ovat rationaalilukuja $b_{k}={\frac {a_{k}}{a_{n}}}\in \mathbb {Z} ,k=0,\dotsc ,n-1.$ Koska yhtälön molemmat puolet voi kertoa luvulla $c\in \mathbb {Z} (\neq 0)$, voidaan algebrallisen yhtälön kertoimiksi sallia myös rationaaliluvut.

Esimerkkejä algebrallisista yhtälöistä ja -luvuista

Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.

Ensimmäisen asteen luvut

Jos polynomi $P(x)=ax-b$ kerroin $a=1$, saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä $\mathbb {Z} \subset \mathbb {A}$. Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön

$ax-b=0\Leftrightarrow x={\frac {b}{a}}.$

Silloin on myös $\mathbb {Q} \subset \mathbb {A}$.

Toisen asteen luvut

Erilaisia esimerkkejä:

• Kokonaislukujen juuriluvut ${\sqrt {c}}{\text{ ja }}-{\sqrt {c}}$ ovat pääpolynomin $P(x)=x^{2}-c$ nollakohtina toisen asteen algebrallisia kokonaislukuja, jotka ovat lisäksi toistensa konjugaatteja.
• Irrationaalinen ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se on algebrallisen yhtälön $2x^{2}-1=0$ juuri.
• Kokonaislukukertoimisen toisen asteen polynomiyhtälön $ax^{2}+bx+c$ kaikki ratkaisut ovat algebralliset lukuja. Joukossa on myös paljon erilaisia irrationaaliratkaisuja.
• Kultainen leikkaus on luku

$\phi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=1{,}61803\dots ,$

joka on polynomin $x^{2}+x-1=0\,$ nollakohta.

• Imaginaariyksikkö $i$ on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se toteuttaa yhtälön $x^{2}+1=0$.

Muita algebrallisia lukuja

• Kaikki luvut, jotka saadaan polynomin kertoimista peruslaskutoimituksilla ja n-asteisella juuretuksella, ovat algebrallisia lukuja.

• Trigonometriset funktiot, joiden argumenttina olevalla $\pi$:llä on rationaalikerroin, ovat algebrallisia lukuja. Esimerkiksi jokainen algebrallinen luku $\cos(\pi /7)$, $\cos(3\pi /7)$ ja $\cos(5\pi /7)$ on minimaalipolynomin $8x^{3}-4x^{2}-4x+1=0$ nollakohta. Tämä tekee luvuista toistensa kolmannen asteen konjugaatteja.

• Myös luvut $\tan(3\pi /16)$, $\tan(7\pi /16)$, $\tan(11\pi /16)$ ja $\tan(15\pi /16)$ ovat minimaali- ja pääpolynomin $x^{4}-4x^{3}-6x^{2}+4x+1$ nollakohtia ja ovat toistensa neljännen asteen konjugaatteja ja algebrallisia kokonaislukuja.

Algebrallisten lukujen yleisiä ominaisuuksia

Algebralliset luvut

• Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku $a+bi$ on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut $a$ ja $b$ ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku $a-bi$ algebrallinen. Näitä lukuja kutsutaan Gaussin kokonaisluvuiksi.

Tiheys

Algebrallisten lukujen joukko on tiheä, jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensinmainitut kaksi lukua olivat.

Algebrallisten lukujen mahtavuus

Algebrallisten luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko, jonka mahtavuus on siis $\aleph _{0}$ . Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin ylinumeroituvasti ääretön.

Aiheeta muualla

• Pahikkala, J.: Kirjoituksia matematiikasta
• Halko, Aapo: Joukko-oppia reaaliluvuilla

Lähteet

• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suomentanut Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
• Majaranta, Leo: Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista. (Pro Gradu-tutkielma). Tampere: Tampereen yliopisto, 2011. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.5.2012).

Lukujoukkoja

Numeroituvia joukkoja:	luonnolliset luvut ($\scriptstyle \mathbb {N}$) kokonaisluvut ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) rationaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) algebralliset luvut ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$)
Reaaliluvut ja niiden laajennokset:	reaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {R}$) kompleksiluvut ($\scriptstyle \mathbb {C}$) kvaterniot ($\scriptstyle \mathbb {H}$) irrationaaliluvut transsendenttiluvut surreaaliluvut
Muita:	kardinaaliluvut p-adiset luvut