Asymptootti

Asymptootti on suora tai käyrä A, jota toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.

Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.

1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän hyperbelin asymptootteja.

Funktion f(x)=x + 1/x kuvaaja, y-akseli (x = 0) ja suora y = x ovat molemmat f:n asymptootteja.

Asymptootit ja funktion kuvaaja

Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:

Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti, jos

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a\,{\mbox{ tai }}\lim _{x\to -\infty }f(x)=a.$

Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtä suuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu, kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.

Huomaa, että jos

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a\,{\mbox{ ja }}\lim _{x\to -\infty }f(x)=b,$

on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.

Funktion kuvaajalla voi olla kaksi vaakasuoraa asymptoottia.

Suora x=a on funktion f pystysuora asymptootti, jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$

Intuitiivisesti jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommaltakummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.

Esimerkki asymptootista löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselin x = 0 ja y = 0.

Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole asymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota

$f(x)={\begin{cases}1/x&x>0\\5&x\leq 0\end{cases}}.$

Kun $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$, f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa, vaikka $f(0)=5$.

Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion f(x)=x +1/x asymptootteina ovat y-akseli ja suora y = x.

Jos y = m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina, jos ja vain jos

$\lim _{x\to \infty }f(x)-(mx+b)=0\,{\mbox{ tai }}\lim _{x\to -\infty }f(x)-(mx+b)=0.$

Toisia merkityksiä

Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x), kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:

1. f(x) − g(x) → 0.
2. f(x) / g(x) → 1.
3. f(x) / g(x) → a ≠ 0.
4. f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.