Neliöksi täydentäminen

Neliöksi täydentäminen on algebrallinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös integraaleja laskettaessa.

Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) $ax^{2}+bx+c$ muotoon (2) $(a'x+b')^{2}+c'$. Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat.

Neliöksi täydennyksessä otetaan ensimmäisen asteen termin kertoimen puolikkaan neliö, ja lisätään ja vähennetään se. Tälle toimenpiteelle on voimassa ehto, että toisen asteen termin kerroin on 1.

Esimerkki 1

Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:

• $4x^{2}+4x=0$.

Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.

• $(4x^{2}+4x+1)-1=0$
• $(2x+1)^{2}-1=0$

Välivaiheittain:

(1) Otetaan termin $x^{2}$:n kerroin yhteiseksi tekijäksi ja toteutetaan ehto, että toisen asteen termin kerroin on yksi.

• $4(x^{2}+x)=0$

(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli $1*x$:n, puolikkaan neliö $({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}$ ja lisätään ja vähennetään se.

• $4[(x^{2}+x+{\frac {1}{4}})-{\frac {1}{4}}]=0$

(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin

• $4(x^{2}+x+{\frac {1}{4}})-1=0$
• $4(x+{\frac {1}{2}})^{2}-1=0$
• $(2x+1)^{2}-1=0$

Nyt yhtälö ratkeaa helposti

• $(2x+1)^{2}=1$
• $2x+1=\pm 1$
• $2x=-1\pm 1$
• $x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}$.

Siis x on joko 0 tai -1.

Esimerkki 2

Toisen asteen polynomifunktion neliöksi täydentäminen tehdään yleisesti seuraavasti:

$f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x+{b \over {2a}})^{2}+c-{b^{2} \over {4a}}$

Menetelmästä on se etu, että funktion käännepiste voidaan määrittää turvautumatta derivointiin. Käännepiste saadaan yhtälöstä $x+{b \over {2a}}=0$ ja funktion arvo tässä pisteessä on siten $f(-{b \over {2a}})=c-{b^{2} \over {4a}}$ .

Esimerkki 3

Tehtävä: kirjoita hyperbelin $9x^{2}-y^{2}+36x+2y+26=0$ yhtälö perusmuotoon: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, $a,b\in \mathbb {R}$

(1) Järjestellään termit mieleiseksi, eli vakiot oikealle puolelle ja tuntemattomat vasemmalle. Järjestellään x:t ja y:t.

• $9x^{2}+36x-y^{2}+2y=-26$

(2) Otetaan x:n funktiosta kerroin 9 ja y:n funktiosta -1 ulkopuolelle. Näin saadaan ehto täytettyä, että toisen asteen termien kertoimet ovat sulkeiden sisällä 1.

• $9(x^{2}+4x)+(-1)(y^{2}-2y)=-26$

(3) Täydennetään neliöksi - lisätään ja vähennetään ensimmäisen asteen termien kertoimien puolikkaiden neliöt.

• $9[(x^{2}+4x+2^{2})-2^{2}]+(-1)[(y^{2}-2y+(-1)^{2})-(-1)^{2}]=-26$

(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:

• $9(x^{2}+4x+4)$ - 36 $+(-1)(y^{2}-2y+1)$ + 1$=-26|+36|-1$

(5) Jolloin jää:

• $9(x^{2}+4x+4)+(-1)(y^{2}-2y+1)=9$
• $9(x+2)^{2}-(y-1)^{2}=9|:9$
• ${\frac {(x+2)^{2}}{1}}-{\frac {(y-1)^{2}}{3^{2}}}=1$