Ero sivun ”Infinitesimaali” versioiden välillä

Siirry navigaatioon Siirry hakuun
13 merkkiä poistettu ,  6 vuotta sitten
p
kh
(Robinsonin infinitesimaalit ovat hyperreaalilukuja)
p (kh)
'''Infinitesimaali''' tarkoittaa niin pientä [[suure]]tta, ettei sitä käytännössä tai edes periaatteessa voida mitata. Termi on muodostettu lisäämällä [[latina]]n [[äärettömyys|äärettömyyttä]] tarkoittavaan sanaan latinalainen [[murtoluku]]a tarkoittava johdin, siis ikään kuin "äärettömäsosa." Arkikielessä infinitesimaalisella voidaan tarkoittaa merkityksettömän pientä asiaa.
 
Matematiikassa infinitesimaalin käsite liittyy [[analyysi (matematiikka)|analyysin]] eli lähinnä [[differentiaalilaskenta|differentiaali-]] ja [[integraalilaskenta|integraalilaskennan]] varhaisimpiin, mutta myös eräsiineräisiin moderneihin muotoiluihin. Ennen 1800-lukua näiden matematiikan haarojen käsitteiden määritelmät olivat epätyydyttäviä, mutta niiden avulla voitiin silti saada oleellisesti oikeita tuloksia. Käsitettä käyttivät [[Gottfried Leibniz]], [[Isaac Newton]], [[Leonhard Euler]] ja monet muut matemaatikot.
 
== Historia ==
 
Ensimmäisenä infinitesimaalin käsitettä käytti [[Arkhimedes]] noin 250 eaa.<ref>Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems''; see [[Archimedes Palimpsest]]</ref>. Monien hänen käyttämiensä menetelmien voidaan jo katsoa ennakoineen integraalilaskentaa. Myös [[Intia]]ssa useat matemaatikot kuten [[Bhāskara II]] käyttivät vastaavanlaisia menetelmiä jo 1100-luvulta lähtien.
 
Kun Leibniz ja Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan, heidän käyttämänsä päättelyt perustuivat oleellisesti infinitesimaaleihin. Tyypillinen todistus saattoi kuulua seuraavasti:
 
::On määriteltävä [[funktio]]n ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f&prime;''(''x''). Olkoon d''x'' infinitesimaali. Sen aikaisen määritelmän mukaan derivaatta oli:
 
:::{|
|-
|}
::Näin ollen funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> derivaatta oli
 
:::{|
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx + (\mathrm dx)^2 -x^2}{\mathrm dx}\,</math>
|-
|
::koska d''x'' on infinitesimaalisen pieni.
 
Vaikka tämä todistelu oli intuitiivisesti uskottava ja johti oikeaan tulokseen, se ei ollut loogisesti aukoton. Varsinkin filosofit kuten [[George Berkeley]] esittivät siihen painavia vastaväitteitä <ref>George Berkeley, ''The Analyst; or a discourse addressed to an infidel mathematician''</ref> Varsinainen ongelma on siinä, että infinitesimaalia d''x'' käsitellään ensin nollasta poikkevanapoikkeavana, niin että se voi olla [[jakolasku|jakajanakin]], mutta sen jälkeen se kuitenkin poistetaan laskuista ikään kuin se olisi nolla.
 
Infinitesimaali määriteltiin naiivisti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka [[itseisarvo]] on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos ''h'' on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin [[käänteisluku|käänteisluvun]] tulisi olla ääretön.
 
Useimmat aikakauden matemaatikot ja varsinkin fyysikot jättivät nämä vastaväitteet kuitenkin vähälle huomiolle. Näistä loogisista heikkouksista huolimatta infinitesimaalin käsitteeseen perustunutta analyysiä voitiin kuitenkin erittäin menestyksellisesti soveltaa monilla aloilla, erityisesti [[fysiikka|fysiikassa]] ja [[taivaanmekaniikka|taivaanmekaniikassa]].
 
Vasta 1800-luvulla [[Karl Weierstrass]] määritteli differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet uudelleen niin, ettei infinitesimaaleja tarvittu. Täten ne saatiin vihdoin loogisesti pätevälle pohjalle. Keskeisin käsite, jota tällöin tarvittiin, oli [[raja-arvo]]. Määritelmän mukaan reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla <math>f</math> on raja-arvo <math>L</math> pisteessä <math>c</math>, jos jokaista positiivista lukua <math>\epsilon>0</math> kohti, olipa se kuinka pieni tahansa, on olemassa positiivinen luku <math>\delta>0</math> siten, että
Tälle raja-arvolle käytetään merkintää
 
<center><math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math> (luetaan ''<math>f(x)</math>:n raja-arvo, kun <math>x</math> lähestyy <math>c</math>:tä, on <math>L</math>'')</center>
 
Tämän avulla funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f&prime;''(''x'') määriteltiin aikaisemmasta poiketen seuraavasti:
<center><math>f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math></center>
 
Myös tämän määritelmän avulla voidaan osoittaa, että esimerkiksi funktion ''x''<sup>2</sup> derivaatta on ''f&prime;''(''x'') = 2 ''x''.
 
Kun Weierstrassin määritelmät tulivat tunnetuiksi, infinitesimaalin käsitettä pidettiin matematiikassa pitkät ajat täysin tarpeettomana ja vanhentuneena. Vuonna [[1960]] [[Abraham Robinson]] kuitenkin osoitti, että on määriteltävissä [[reaaliluku]]jen joukkoa laajempikin lukualue, [[hyperreaaliluku|hyper­reaali­luvut]], jossa on myös infinitesimaalisia lukuja. Tässä lukualueessa määritellään, että luku ''x'' on infinitesimaalinen, jos se on pienempi kuin minkä tahansa positiivisen [[kokonaisluku|kokonaisluvun]] [[käänteisluku]], mistä kuitenkaan ei seuraa, että se on tasan 0. Tähän lukualueeseen perustuu hänen kehittämänsä [[epästandardi analyysi]], jonka avulla derivaatalle ja monille muille käsitteille voidaan esittää vaihtoehtoiset ja täysin täsmälliset määritelmät.
 
== Viitteet ==
14 767

muokkausta

Navigointivalikko