Ero sivun ”Jana (geometria)” versioiden välillä

[arvioimaton versio]

Poistettu sisältö Lisätty sisältö

Inline

Versio 14. elokuuta 2013 kello 16.12

Jana on geometriassa kahden pisteen suorasta erottama osa. Janaa kohdellaan geometriassa myös itsenäisenä objektina, jolloin jana piirretään alkamaan pisteestä A ja päättymään pisteeseen B. Pisteitä kutsutaan janan päätepisteiksi. Muut pisteet ovat janan sisäpisteitä. Janaa, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B, kutsutaan sitä jana AB ja merkittän ${\overline {AB}}$ tai $AB$ . Jos jana on suunnattu jana tai vektori, on kirjainen järjetyksellä merkitystä. Lukuunottamatta janan äärellistä pituutta jakaa se kaikki muut suoran ominaisuudet.^[1]

Jana AB

Janat tasogeometriassa

Janojen vertailua

Eri kuvioiden janat ovat euklidisessa geometriassa samat, jos ne sijaitseat siten, että janat yhtyvät toisiinsa. Analyyttisessä geometriassa samoilla janoilla on samat päätepisteiden koordinaatit. Jos kaksi janoja vastaavat vektorit ovat saman suuntaiset ja pituiset, ovat ne samat.

Yhdensuuntaisuus voidaan aina todeta viemällä janat suuntansa säilyttäen päällekkäin. Jos ne peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Jos molemmat peittävät toisensa kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Pituuksia voidaan verrata toisiinsa absoluuttisesti pituuksien erotuksella tai suhteellisesti pituuksien osamäärällä.

Janojen sisäpisteitä

Kaikki päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös jakopisteiksi. Analyyttisessä geometriassa sisäpisteen koordinaatit voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöparilla:

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}

y=\lambda y_{1}+(1-\lambda )y_{2},

missä $0<\lambda <1.$ Janan keskipiste sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin $\lambda ={\tfrac {1}{2}}$ ja

x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}.

Lähteet

Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).

Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012.

Weisstein, Eric W.: Line Segment (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Weisstein, Eric W.: Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Weisstein, Eric W.: Interval (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Weisstein, Eric W.: Ray (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Viitteet

↑ Väisälä: Geometria, ss. 1-3

Viittausvirhe: <ref>-elementin nimeä ”e1”, johon viitataan elementissä <references> ei käytetä edeltävässä tekstissä.
Viittausvirhe: <ref>-elementin nimeä ”W_line”, johon viitataan elementissä <references> ei käytetä edeltävässä tekstissä.

[v1-1] Väisälä: Geometria, ss. 1-3

[1]

@@ Rivi 9: / Rivi 9: @@
 ===Janojen sisäpisteitä===
-Kaikki päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Analyyttisessä geometriassa sisäpisteen koordinaatit voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöparilla:
+Kaikki päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan ''sisäpisteitä''. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös [[Janan jakopiste|jakopisteiksi]]. Analyyttisessä geometriassa sisäpisteen koordinaatit voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöparilla:
 :<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
 :<math>y=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2,</math>
-missä <math>0<\lambda <1.</math> Janan keskipiste sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin <math>\lambda = \tfrac{1}{2}</math> ja
+missä <math>0<\lambda <1.</math> [[Janan keskipiste]] sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin <math>\lambda = \tfrac{1}{2}</math> ja
 :<math>x=\frac{x_1 + x_2}{2}</math>
 :<math>y=\frac{y_1 + y_2}{2}.</math>
 ==Lähteet==
 *{{Kirjaviite | Tekijä =Väisälä K. | Nimeke =Geometria | Vuosi =1959  | Julkaisupaikka =Porvoo | Julkaisija =Wsoy | www =http://solmu.math.helsinki.fi/2011/geometria.pdf  | Tiedostomuoto =pdf  | Viitattu =  }}

Ero sivun ”Jana (geometria)” versioiden välillä

Versio 14. elokuuta 2013 kello 16.12

Sisällys