Hyperbolinen geometria

Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Hyperbolisen geometrian "vastakohdan" voidaan monien ominaisuuksien puolesta ajatella olevan pallo- eli elliptisen geometrian, euklidisen geometrian jääden rajatapauksena näiden kahden väliin.

Hyperbolinen geometria eroaa perinteisestä, euklidisesta, ääretöntä, tasaista tasoa käsittelevästä geometriasta monin tavoin. Muun muassa kolmion kulmien summa on aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.

Yhdensuuntaiset suorat

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet eukidisessa geometriassa yhdensuuntaisille suorille tunnetut asiat eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisessa geometriassa kaikki etäisyydet yhdensuuntaisten suorien $\lVert BP\rVert$ välillä kertoo että kulmien rinnakkaisuus 90°.Hyberpolisessa geometriassa kulmien rinnakkaisuus vaihtelee Π(p) funktion mukaan.Tämä funktio luo erinlaisen etäisyyden kulmien rinnakkaisuudelle p= $\lVert BP\rVert$.Kun etäisyys pienenee funktio Π(p) lähestyy 90°, kun taas etäisyyden suurentuessa funkktio lähenee 0°.Jolloin funktion käyttäytyy samanlailla kuin eukliidisessa ympäristössä lähestyessään 90°.Pienissä asteikoissa katsojan on vaikeaa verrata ${\frac {1}{\sqrt {-K}}}$,missä K on gaussin kaarevuus tasosta, että onko ympäristö eukliidinen vai hyperbolinen.

Kolmiot

.Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kantoja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa etäisyyden mittauksessa:

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

missä funktiocosh on hyperbolinen funktio,minkä vastine on trigonometriassa cos funktio.Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.Hyperbolisessa kolmiossa pätee trigonometriset lauseet kulmissa ja kolmion kantojen suhteissa. Esimerkiksi hyperboliset vinot kolmiot, joihin kuuluu Sinilause:

${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}.$

Kosinilause:

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,\,$

tai

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,\,$

erikoistapauksessa kun C on suorakulma,niin silloin

$\sin A={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,$

$\cos A={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,$

$\tan A={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}.\,$

Euklidiset kolmioissa on kulmien summa π(=180°)radiaaneissa,mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle π.Hyperbolisessa geometriass ideaali kolmionksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.

Ympyrät,levyt ja pallot

Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin 2πr. Se saadaan kaavasta:

$2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.$

Suljetun kiekon pinta-ala on:

$2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.$

Pallon pinta-ala on:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

Suljetun pallon tilavuus:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

Kun halutaan n-pallomainen ympäristön mitta, missä n on pallomaisen ympäristön ulottovuus

$\Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}\,$

missä avaruuskulma(Omega) voidaan laskea n ympäristössä

$\Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,$

laskemalla auki $\Gamma \,$ gammafunktiossa saadaan suljetun pallon n mitta

$\Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}dr\,.$

Historia

Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.

Hyperbolisen geometrian malleja

Hyperbolisessa geometriassa on neljä yleisesti käytettyä mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puoli-taso –malli ja Hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.

Katso myös

• Euklidinen geometria
• Elliptinen geometria

Lähteet

• http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf
• http://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/73885/graduGlader2011.pdf?sequence=1
• https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/26824/URN%3aNBN%3afi%3ajyu-2011042710685.pdf?sequence=1

Linkkejä

• "The Hyperbolic Geometry Song" Lyhyt video Youtubessa, joka kertoo heperbolisesta geometriasta
• Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry