Ero sivun ”Grandin sarja” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
[katsottu versio][katsottu versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
HiW-Bot (keskustelu | muokkaukset)
p r2.7.2) (Botti lisäsi: zh:格蘭迪級數
p Botti poisti 15 Wikidatan sivulle d:q967588 siirrettyä kielilinkkiä
Rivi 36: Rivi 36:


{{Link FA|sl}}
{{Link FA|sl}}

[[ca:Sèrie de Grandi]]
[[en:Grandi's series]]
[[es:Serie de Grandi]]
[[fr:Série de Grandi]]
[[it:Serie di Grandi]]
[[no:Grandis rekke]]
[[pl:Szereg Grandiego]]
[[pt:Série de Grandi]]
[[ro:Seria lui Grandi]]
[[ru:Ряд Гранди]]
[[sl:Grandijeva vrsta]]
[[sv:Grandis serie]]
[[th:อนุกรมแกรนดี]]
[[tr:Grandi serisi]]
[[zh:格蘭迪級數]]

Versio 24. maaliskuuta 2013 kello 02.04

Grandin sarja on matematiikassa ääretön sarja 1 − 1 + 1 − 1 + … eli

.

Se on nimetty italialaisen matemaatikon, filosofin ja papin Guido Grandin mukaan. Hän tutki sarjaa merkittävästi vuonna 1703. Se on hajaantuva sarja, mikä tarkoittaa, ettei sarjalla ole varsinaista summaa. Toisaalta sen Cesàron summa on 1⁄2.

Käsittely

Eräs tapa käsitellä sarjaa

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

on ajatella sitä teleskooppisena sarjana ja eritellä sarja siten, että saadaan erillisiä erotuslaskuja:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Toisaalta samankaltainen menetelmä johtaa toiseen tulokseen:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Grandin sarjan "arvo" riippuu siis siitä, miten sulkumerkit sijoitetaan, ja "arvoksi" voi tulla joko 0 tai 1.

Kohtelemalla Grandin sarjaa hajaantuvana geometrisena sarjana voidaan käyttää samoja algebrallisia arviointimenetelmiä, jotka pätevät suppenevalle geometriselle sarjalle, ja saada näin kolmas arvo:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, joten
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S, joten
1 = 2S,

josta saadaan S = 1⁄2.

Edellisissä käsittelyissä ei oteta huomioon, mitä sarjan summa oikeastaan tarkoittaa.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Malline:Link FA