Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Pientä fiksausta |
|||
Rivi 55: | Rivi 55: | ||
[[Luokka:Lineaarialgebra]] |
[[Luokka:Lineaarialgebra]] |
||
[[ar:كثيرة حدود مميزة]] |
|||
[[ca:Polinomi característic]] |
|||
[[de:Charakteristisches Polynom]] |
|||
[[en:Characteristic polynomial]] |
|||
[[es:Polinomio característico]] |
|||
[[eo:Karakteriza ekvacio]] |
|||
[[fr:Polynôme caractéristique]] |
|||
[[hi:लाक्षणिक बहुपद]] |
|||
[[hr:Karakteristični polinom]] |
|||
[[it:Polinomio caratteristico]] |
|||
[[he:פולינום אופייני]] |
|||
[[kk:Сипаттауыш көпмүшелік]] |
|||
[[nl:Karakteristieke polynoom]] |
|||
[[ja:固有多項式]] |
|||
[[pl:Wielomian charakterystyczny]] |
|||
[[pt:Polinômio característico]] |
|||
[[ru:Характеристический многочлен матрицы]] |
|||
[[sl:Karakteristični polinom (linearna algebra)]] |
|||
[[sr:Карактеристични полином]] |
|||
[[uk:Характеристичний поліном]] |
|||
[[zh:特徵多項式]] |
Versio 10. maaliskuuta 2013 kello 07.34
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Lähtökohta
Annetulle neliömatriisille on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.
Päädiagonaalimatriisi
Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleinen tapaus
Yleisen -neliömatriisin tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) on matriisin ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että
- ,
eli
- ,
missä on yksikkömatriisi. Koska vektori on nollasta eroava, on matriisin oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin juuret ovat :n ominaisarvoja.
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön
ratkaisuina.
Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon kunta ja -kertoiminen -matriisi. Matriisin karakteristinen polynomi on määritelmän mukaan
- ,
missä on yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä on matriisin ominaisarvo.