Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Pientä fiksausta
p Botti poisti 21 Wikidatan sivulle d:q849705 siirrettyä kielilinkkiä
Rivi 55: Rivi 55:


[[Luokka:Lineaarialgebra]]
[[Luokka:Lineaarialgebra]]

[[ar:كثيرة حدود مميزة]]
[[ca:Polinomi característic]]
[[de:Charakteristisches Polynom]]
[[en:Characteristic polynomial]]
[[es:Polinomio característico]]
[[eo:Karakteriza ekvacio]]
[[fr:Polynôme caractéristique]]
[[hi:लाक्षणिक बहुपद]]
[[hr:Karakteristični polinom]]
[[it:Polinomio caratteristico]]
[[he:פולינום אופייני]]
[[kk:Сипаттауыш көпмүшелік]]
[[nl:Karakteristieke polynoom]]
[[ja:固有多項式]]
[[pl:Wielomian charakterystyczny]]
[[pt:Polinômio característico]]
[[ru:Характеристический многочлен матрицы]]
[[sl:Karakteristični polinom (linearna algebra)]]
[[sr:Карактеристични полином]]
[[uk:Характеристичний поліном]]
[[zh:特徵多項式]]

Versio 10. maaliskuuta 2013 kello 07.34

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta

Annetulle neliömatriisille on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus

Yleisen -neliömatriisin tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) on matriisin ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että

,

eli

,

missä on yksikkömatriisi. Koska vektori on nollasta eroava, on matriisin oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin juuret ovat :n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä

Olkoon kunta ja -kertoiminen -matriisi. Matriisin karakteristinen polynomi on määritelmän mukaan

,

missä on yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .

Esimerkki

Lasketaan matriisin

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

Tämä determinantti on

Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä on matriisin ominaisarvo.