Zenonin paradoksit

Paradoksien nimi juontuu Zenon Elealaisesta, joka kuului Parmenideen perustamaan elealaiseen koulukuntaan.

Zenonin paradoksit ovat Zenon Elealaisen ja hänen oppilaidensa kehittämiä paradokseja, jotka perustuvat liikkeen, moneuden, jatkuvuuden ja äärettömyyden käsitteisiin. Paradoksien tavoitteena oli paljastaa ristiriitoja, jotka seuraavat oletuksesta, että liike, moneus jne. ovat olemassa. Paradokseja on yhteensä yhdeksän kappaletta.

Ei ole varmuutta siitä, laatiko Zenon paradoksinsa todistaakseen Parmenideen olleen oikeassa väittäessään, etteivät liike, moneus jne. ole todellisia, vai oliko paradoksien tarkoituksena lähinnä osoittaa nämä monen kreikkalaisen filosofisen koulukunnan hyväksymät käsitteet ristiriitaisiksi, mikä on auttanut elealaisen koulukunnan monismin puolustamisessa. On ehdotettu, että paradoksit olisi suunnattu esimerkiksi pythagoralaisia tai atomisteja vastaan, tai niitä vastaan, jotka kannattivat asioiden (kuten tilan tai ajan) loputonta jaettavuutta osiin.

Vaikka antiikin kreikkalaiset hylkäsivät paradoksit mielettöminä, ne ovat vaivanneet länsimaalaisia ajattelijoita hyvin pitkään. Paradoksien tutkimista vaikeuttaa se, ettei Zenonin ilmeisesti laajasta tuotannosta ole säilynyt kuin kolme fragmenttia. Esimerkiksi Zenonin neljä kuuluisinta paradoksia, jotka on esitetty liikettä vastaan, tunnetaan vain välillisesti. Ongelmallista asian suhteen on myös se, että kaikki tärkeimmät Zenonia koskevat lähteet, Aristoteleen, Platonin ja Simplikioksen teokset, käsittelevät hänen ajatuksiaan negatiivisessa valossa.

Zenonin paradokseista tunnetuin lienee nimellä "Akhilleus ja kilpikonna" -tunnettu tarina. Paradoksin mukaan kerkeäjalkainen Akhilleus ei kilpajuoksussa kykene koskaan ohittamaan kilpikonnaa, sillä ohittaakseen Akhilleuksen on ensin juostava siihen missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna liikkunut siitä eteenpäin. Sama toistuu kilpikonnan uuden sijainnin suhteen. Näin Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa. Tämän paradoksin ratkaisu liittyy siihen, että vaikka äärellinen matka jaettaisiin äärettömän moneen osaan, matka on silti äärellinen.

Paradoksien on sanottu johtuneen siitä, että antiikin Kreikan matematiikasta ja ajattelusta puuttui raja-arvon käsite, jonka avulla nollaa tai ääretöntä lähestyviä muuttujia voidaan käsitellä. Toisaalta on myös väitetty, ettei raja-arvon käsitteellä voida selittää paradokseja tyhjentävästi.

Liikettä vastaan suunnatut paradoksit

Zenonin neljä tunnetuinta paradoksia ovat kaikki suunnattuja liikkeen käsitettä vastaan. Nämä neljä paradoksia ovat dikotomia-paradoksi, Akhilleus (ja kilpikonna) -paradoksi, nuoli-paradoksi ja stadion-paradoksi. Ne tunnetaan pelkästään Aristoteleen esittämässä muodossa (Fysiikka, kirjat VI ja VIII). Aristoteles antoi kuvausten lisäksi selitykset sille, miksi paradoksit ovat virhepäätelmiä. Aristoteleen käyttämää lähdettä ei tiedetä; hän on saattanut tuntea ne suullisen perimätiedon kautta.

Se, että paradoksit tunnetaan vain Aristoteleen kautta, on tutkimuksen kannalta ongelmallista, koska hän vastusti Parmenideen ja Zenonin koulukunnan ajattelua. Näin hän ei välttämättä esitä paradokseja siinä muodossa kuin Zenon ne todellisuudessa esitti.

Dikotomia

Dikotomia-paradoksin mukaan liike on mahdotonta, koska ”paikan suhteen liikkuvan täytyy saapua matkan puoliväliin, ennen kuin se saapuu perille”. Tämä puoliksi jakaminen jatkuisi loputtomiin.

Kuvitellaan, että objekti liikkuu paikasta A paikkaan B. Näin sen täytyy paikkaan B päästäkseen ensin saavuttaa paikka B1 A:n ja B:n puolessavälissä. Kuitenkin, ennen kuin tämä voi tapahtua, objektin tulee ensin saavuttaa paikka B2 A:n ja B1:n puolessavälissä. Ja edelleen, ennen kuin tämä voi tapahtua, objektin tulee ensin saavuttaa paikka B3 A:n ja B2:n puolessavälissä, ja näin loputtomiin. Näin liike ei voi koskaan edes alkaa.

A-----B3-----B2-----------B1-------------------------B

Eräs ratkaisu: Paradoksien yleinen ratkaisu liittyy siihen, että teorian aksioomia (systeemiä) on rajoitettu jollakin tavalla tai aksioomat on muotoiltu väärin. Tästä syystä paradoksin olemassaolo antaa yleensä uutta tietoa systeemistä, teoriasta. Liike-paradoksissa yllä siirrytään koko ajan kohti sitä ajanhetkeä, jolloin liike ei ole vielä alkanut ja niinpä liike ei ala. Koska siis tarkastellaan periaatteessa aikaa, jolloin liike ei ole vielä alkanut (hämärä paradoksin tausta-aksiooma), niin liike ei ole vielä alkanut. Jos tarkastellaan ajanhetkeä, jossa liikettä on tapahtunut, liikettä on tapahtunut.

Akhilleus

Akhilleus-paradoksi väittää ”ettei nopein juoksija voi koskaan tavoittaa hitainta juoksijaa, sillä takaa-ajoasemassa olevan täytyy ensiksi tulla siihen kohtaan, josta häntä pakeneva aloitti juoksunsa, joten hitaammalla täytyy aina olla jonkin verran etumatkaa”.

Kuvitellaan, että Akhilleus juoksee kilpaa kilpikonnan kanssa. Hän juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna, mutta lähtee pisteestä A, 100 jalkaa pisteestä T1 lähtevää kilpikonnaa myöhemmin. Saadakseen kilpikonnan kiinni, Akhilleuksen tulee ensin saavuttaa piste T1. Kuitenkin kun hän on saavuttanut pisteen T1, kilpikonna on edennyt 10 jalkaa pisteeseen T2. Akhilleus juoksee edelleen pisteeseen T2. Kun hän on saavuttanut tämän pisteen, kilpikonna on edelleen yhden jalan hänen edellään pisteessä T3, ja niin edelleen. Näin Akhilleus ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa.

A----------------------------T1----------------T2---T3

Kaavio siitä, kuinka Akhilleus kuitenkin tavoittaa kilpikonnan.

Eräs ratkaisu: Tässä tapauksessa systeemiä on rajoitettu niin, että lähtökohtaisesti koskaan ei tarkastella ajanhetkeä, jolloin Akhilleus ohittaa kilpikonnan. Tarkastellaan vain ajanhetkiä, jotka lähestyvät asymptoottisesti ohitushetkeä. Ja näin Akhilleus ei tavoita koskaan kilpikonnaa. Vertaa edellinen paradoksi.

Nuoli

Nuoli-paradoksin mukaan liike on mahdotonta, koska ”jos paikan suhteen liikkuva on aina nykyhetkessä, lentävän nuolen täytyy olla liikkumaton”.

Kuvitellaan, että nuoli lentää yhtämittaisesti eteenpäin jonkin ajan verran. Jos otetaan mikä tahansa hetki kyseisenä aikana, on mahdotonta, että nuoli lentäisi tuolloin, koska kyseisen hetken pituus on nolla. Näin nuoli ei voi olla kahdessa paikassa yhtä aikaa. Jokaisella ajan hetkellä nuoli on yhtä liikkumaton, ja näin se on liikkumaton koko kyseisenä aikana lentäessään.

Eräs ratkaisu: Tässä tarkastellaan vain yhtä ajanhetkeä, nykyhetkeä. Aika siis pysäytetään. Koska aikaa ei kulu ja nopeus on matka jaettuna ajalla (aika ja matka siis nollia), tullaan epämääräiseen tilaan. Tarkastelemalla hetkeä, jossa aikaa ei kulu, ei ole liikettä. Nuolen liike muodostuu rajattomasta määrästä lyhyitä nykyhetkiä (joissa nuoli on lähes paikallaan (vrt. hidastus)), ei yhdestä nykyhetkestä.

Eino Kailan mukaan liikkeen paradoksit eivät ratkea millään kuvaustavalla, jossa liike (tai aika) hajotetaan osiin eli siirtymiseksi kohdasta A kohtaan B, koska tällöin liikkeen ”liikkuminen” kadotetaan, emmekä pysty kuvaamaan pisteiden välillä tapahtuvaa siirtymistä, koska niiden välille voidaan aina kuvitella uusi piste. Kailan mukaan liike ei ole varsinaisesti siirtymistä pisteestä toiseen, eikä aika ole siirtymistä hetkestä toiseen vaan molemmat ovat katkeamattomia kontinuumeja eli jatkumoita (Valitut teokset, 1). Vasta pysähtyessään voidaan todeta mihin pisteeseen liike päättyi.

Aristoteles kuvasi aikanaan ajan luonnetta sanomalla sen olevan kahden asian tilan välisen muutoksen kesto. Nuoliparadoksissa aikaa ja tapahtumista ajatellaan kahtena erillisenä vaikutuksena, vaikka sen sijaan olisi luontevaa ajatella ne erillisiksi vain tulkinnan kannalta, mutta reaalisesti samoiksi asioiksi. Ne näet ehdollistavat toisensa. Toisin sanoen ei ole tapahtumaa ilman aikaa, eikä aikaa ilman tapahtumaa.

Stadion

Stadion-paradoksi koskee ”yhtä suuria kappaleita, jotka liikkuvat stadionilla yhtä suurien kappaleiden ohi vastakkaisista suunnista yhtä suurella nopeudella”, ja sen mukaan ”puolet ajasta on yhtä pitkä kuin kaksinkertainen aika”.

Kuvitellaan, että kappale A pysyy paikallaan, ja kappaleet B ja C liikkuvat vastakkaisiin suuntiin (B oikealle ja C vasemmalle), kumpikin yhden kappaleen osan verran suhteessa kappaleeseen A. Kappaleen A suhteen kappaleet B ja C liikkuvat lyhimmässä mahdollisessa ajassa kumpikin yhden kappaleen osan verran, mutta toisiinsa nähden ne liikkuvat kaksi kappaleen osaa.

B→----------------------------------
                  A
----------------------------------←C

Moneutta vastaan suunnatut paradoksit

Zenon esitti myös kolme argumenttia moneuden käsitettä vastaan. Nämä tunnetaan Platonin (Parmenides) ja Simplikioksen (Kommentaari Aristoteleen Fysiikkaan) kautta.

Samanlaisuus ja erilaisuus

Samanlaisuutta ja erilaisuutta koskevan argumentin mukaan jos on olemassa monia asioita, niiden täytyy olla sekä samanlaisia että erilaisia keskenään, mikä on ristiriitaista. Argumentista ja sen perusteluista ei kuitenkaan tiedetä mitään muuta.

Äärellisyys ja äärettömys

Äärellisyyttä ja äärettömyyttä koskevan argumentin mukaan jos on olemassa monia asioita, niitä täytyy olla se määrä kuin niitä on, toisin sanoen joku tietty äärellinen määrä. Toisaalta niiden välissä on aina joitakin muita asioita, ja näiden välissä edelleen muita, joten asioita on tällöin äärettömästi.

Koottomuus ja ääretön koko

Koottomuutta ja ääretöntä kokoa koskevan argumentin mukaan jos on olemassa monia asioita, ne ovat niin pieniä ettei niillä ole kokoa. Toisaalta kaikilla olemassaolevilla moneuden osilla on oltava koko, koska muulloin koko kokonaisuudellakaan ei olisi mitään kokoa. Tällöin asioiden osat ovat jonkun etäisyyden päässä toisistaan, ja edelleen näiden osat joidenkin etäisyyksien päässä toisistaan, niin että asioilla on loppujen lopuksi ääretön koko.

Muut paradoksit

Liikettä vastaan suunnattujen neljän paradoksin lisäksi Aristoteles esitti myös kaksi muuta, vähemmän tunnettua paradoksia: paikan paradoksin ja hirssinjyvän paradoksin.

Paikan paradoksi

Paikan paradoksin mukaan ”jos kaikki oleva on jossakin paikassa, on selvää, että on olemassa myös paikan paikka ja näin äärettömästi”.

Paradoksia on mahdollisesti käytetty puolustamaan Parmenideen monismia sellaisia hyökkäyksiä vastaan, joissa on pyritty osoittamaan, että parmenidelaisen Yhden on sijaittava jossain muussa paikassa kuin itsessään.

Hirssinjyvän paradoksi

Hirssinjyvän paradoksin mukaan ”mikä tahansa hirssin osa aiheuttaa äänen pudotessaan”. Aristoteleen mukaan kuitenkin ”mikään ei estä sitä, ettei tällainen osa liikuta missään ajassa sitä ilmaa, jota koko vakka liikuttaa pudotessaan. Eikä se siis vakassa liikuta edes sen suuruista osaa koko ilmasta, jota se liikuttaisi, jos se olisi itsekseen, sillä mikään osa ei edes ole olemassa koko vakassa muuten kuin potentiaalisesti”.

Zenonin ajatus on, että jos vakallinen hirssinjyviä tuottaa pudotessaan äänen, tällöin myös yhden hirssinjyvän tai miten tahansa pienen osan hirssinjyvästä on tuotettava ääni. Tästä seuraa kuitenkin kysymys, miksi emme kuule niin pientä ääntä? Toisaalta jos tarpeeksi pienestä osasta ei synny ääntä lainkaan, tällöin äänen määrä ei olisi suhteessa äänen aiheuttavan syyn määrään, mikä olisi perustavien oletustemme vastaista.

Vaikutus

Zenonin paradoksien vaikutus ei ollut pelkästään negatiivinen, tiettyjä kantoja vastustava ja kumoava: ne myös lisäsivät kiinnostusta matematiikan perustan tutkimukseen sekä matematiikan ja fysikaalisen todellisuuden välisen suhteen tutkimukseen. Niillä oli suuri vaikutus muun muassa Aristoteleen töihin näillä alueilla.

Lähteet

• Aristoteles: Fysiikka. Teokset III. Suomennos Tuija Jatakari, Kati Näätsaari, selitykset Simo Knuuttila. Helsinki: Gaudeamus, 1992. ISBN 951-662-546-0.
• Platon: Parmenides. Teoksessa Teokset 3. Toinen painos. Helsinki: Otava, 1999. ISBN 951-1-15894-5.

Kirjallisuutta

• Bostock, D.: Aristotle, Zeno and the potential infinite. Proceedings of the Aristotelian Society, 3/1972, 73. vsk, s. 37-51.
• Grünbaum, A.: Modern Science and Zeno's Paradoxes. London: Allen and Unwin, 1968.
• Salmon, W.: Zeno's Paradoxes. Indianapolis & New York: Bobbs-Merrill, 1970.
• Zenon Elealainen: Fragmentit ja paradoksit. Käännös ja saatesanat Reijo Valta. Kurikka: Jyväs-Ainola, 2001. ISBN 952-5353-06-0.

Aiheesta muualla

• Huggett, Nick: Zeno's Paradoxes The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)