Ero sivun ”Alkeisfunktio” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p r2.7.2) (Botti lisäsi: be:Элементарныя функцыі |
p r2.7.3) (Botti lisäsi: tr:Temel fonksiyon |
||
Rivi 62: | Rivi 62: | ||
[[sl:Elementarna funkcija]] |
[[sl:Elementarna funkcija]] |
||
[[sv:Elementär funktion]] |
[[sv:Elementär funktion]] |
||
[[tr:Temel fonksiyon]] |
|||
[[uk:Елементарні функції]] |
[[uk:Елементарні функції]] |
||
[[zh:初等函数]] |
[[zh:初等函数]] |
Versio 23. helmikuuta 2013 kello 20.36
Alkeisfunktio on mikä tahansa yhden muuttujan funktio, joka voidaan muodostaa käyttämällä äärellinen määrä artimeettisia alkeisoperaatioita (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku), potenssiin korottamalla, funktion- tai käänteisfunktion ottoa (funktiot lueteltu alla), yhdistämällä funktioita; aloittamalla vakioista, muuttujista tai muista perusalkeisfunktioista tai jatkamalla jo näin muodostetuista alkeisfunktioista. Alkeisfunktioiden derivaattafunktiot ovat aina alkeisfunktioita, mutta niiden integraalifunktiot eivät aina ole niitä.[1] Silloin on kyseessä erikoisfunktioista, jotka eivät ole muodostettavissa pelkästään alkeisfunktioiden avullä edellä kerrotulla tavalla.[2]
Perusalkeisfunktioita
Yleisimmin käytettyjä perusalkeisfunktioita ovat ...
- potenssifunktiot, sillä ne ovat vakioiden ja muuttujien tuloja.[1]
- polynomifunktiot, sillä ne ovat potenssifunktioiden summia.[2]
- rationaalifunktiot, sillä ne muodostetaan kahden polynomifunktion osamääränä.[2]
- juurifunktiot, sillä ne ovat yleensä potenssi-, polynomifunktioiden tai näiden yhdistettyjen funktioiden käänteisfunktioita tai erikoistapauksia.[1]
- eksponenttifunktiot, sillä ne ovat vakioiden tulojen ja potenssiinkorotuksilla muodostettuja.[1][2]
- logaritmifunktiot, sillä ne ovat eksponenttifunktioiden käänteisfunktioita.[1][2]
- Trigonometriset funktiot, sillä niillä kytketään kulmasuureet erityisiin pituusmittoihin yksinkertaisella tavalla.[1]
- arkusfunktiot, sillä ne ovat trigonometristen funktioiden[1] käänteisfunktioita.
- hyperboliset funktiot, sillä ne on muodostettu eksponenttifunktioiden avulla.[1]
- areafunktiot, sillä ne ovat hyberbolisten funktioiden[1] käänteisfunktioita.
Määritelmään sisältyvä looginen rakenne
Potenssifunktiot syntyvät määritelmän mukaisesti keromalla äärellinen määrä pelkästään vakioita ja muuttujia keskenään. Jos kaikki muuttujat tarkoittavat samaa lukua , saadaan . Kaikki vakiot voidaan kertolaskussa sieventää yhdeksi luvuksi, jolla kerrotaan potenssi . Kun eksponentti n on negatiivinen kokonaisluku, muuttuvat potenssifunktiot myös rationaalifunktioiksi. Kun eksponentti n on yksikkömurtoluku (rationaaliluku), muuttuu potenssifunktio juurifunktioksi. Kun eksponentti n on reaaliluku, saadaan vielä uudentyyppisiä alkeisfunktioita, joilla ei ole muissa funktioluokissa vastineita. Potenssifunktioiden käänteisfunktiot ovat aina myös potenssifunktioita.
Polynomifunktiot muodostetaan laskemalla yhteen eri potenssifunktioita, joilla on eksponentteina luonnolliset luvut, esimerkiksi . Polynomifunktioita voidaan myös muodostaa yhdistämällä potenssi- ja polynomifunktioita vapaasti eri tavoilla. Sallimalla yhdistettävissä potenssifunktioiden eksponenteissa negatiiviset kokonaisluvut, saadaan rationaalifunktioita, ja sallimalla eksponenteissa rationaaliluvut, saadaan erityyppisiä juurifunktioiden yhdistettyjä muotoja.
Rationaalifunktiot saadaan yksinkertaisimmin jakamalla kaksi polynomia keskenään. Kuten edellä havaittiin, voidaan rationaalifunktioon päätyä monin eri tavoin muutenkin.
Juurifunktiot muodostetaan korottamalla muuttuja yksikkömurtopotenssiin, mutta se merkitään yleensä perinteisesti juurimerkinnällä. Yhdistämällä juurifunktio polynomifunktiolla tai rationaalifunktiolla, saadaan edellä esiteltyjä juurifunktion muotoja. Joistakin juurifunktioiden yhdistelmäfunktioista saadaan myös olla yhdistettyjen potenssifunktioiden käänteisfunktioita.
Kuten edellisestä huomataan, ovat polynomifunktiot, rationaalifunktiot ja juurifunktiot kytköksissä potenssifunktioiden ominaisuuksiin. Alkeisfunktioita voidaan määritellä muillakin tavoilla.
Eksponenttifunktiot saadaan, kun potenssimerkinnässä kiinteä kantaluku korotetaan potenssiin, joka on muuttuja. Eksponenttifunktioiden käänteiskuvaukset antavat logaritmifunktiot.
Trigonometriset funktiot saadaan yksikköympyrän avulla trigonometrian perusmääritelmästä, jossa keskuskulman ja tietyn janan pituus esitetään kulman funktiona. Trigonometristen funktioiden käänteiskuvaukset antavat niin sanotut arcusfunktiot.
Hyperboliset funktiot voidaan määritellä eksponenttifunktioiden avulla, joiden kantalukuna on Neperin luku. Niin sanotut areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden käänteiskuvauksena saatuja funktioita.
Lähteet
- Wolfram Research: Luettelo alkeisfunktioiden ominaisuuksista
Viitteet
Aiheesta muualla
Tietoa alkeisfunktioista englanniksi Wolframin funktioita käsittelevällä sivustolla