Grandin sarja

Grandin sarja on matematiikassa ääretön sarja 1 − 1 + 1 − 1 + … eli

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$.

Se on nimetty italialaisen matemaatikon, filosofin ja papin Guido Grandin mukaan. Hän tutki sarjaa merkittävästi vuonna 1703. Se on hajaantuva sarja, mikä tarkoittaa, ettei sarjalla ole varsinaista summaa. Toisaalta sen Cesàron summa on 1⁄2.

Käsittely

Eräs tapa käsitellä sarjaa

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

on ajatella sitä teleskooppisena sarjana ja eritellä sarja siten, että saadaan erillisiä erotuslaskuja:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Toisaalta samankaltainen menetelmä johtaa toiseen tulokseen:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Grandin sarjan "arvo" riippuu siis siitä, miten sulkumerkit sijoitetaan, ja "arvoksi" voi tulla joko 0 tai 1.

Kohtelemalla Grandin sarjaa hajaantuvana geometrisena sarjana voidaan käyttää samoja algebrallisia arviointimenetelmiä, jotka pätevät suppenevalle geometriselle sarjalle, ja saada näin kolmas arvo:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, joten

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S, joten

1 = 2S,

josta saadaan S = 1⁄2.

Edellisissä käsittelyissä ei oteta huomioon, mitä sarjan summa oikeastaan tarkoittaa.