Ero sivun ”Ellipsi” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti lisäsi: so:Qabaal |
pEi muokkausyhteenvetoa |
||
| Rivi 11: | Rivi 11: | ||
== Pinta-ala == |
== Pinta-ala == |
||
Ellipsin [[pinta-ala]] <math>A</math> saadaan kaavasta |
Ellipsin [[pinta-ala]] <math>A</math> saadaan kaavasta |
||
:A = |
:<math>A = \pi \cdot ab, </math> missä ''a'' ja ''b'' ovat ellipsin puoliakseleita. |
||
Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on [[ympyrä]] ja pinta-alan lausekkeeksi tulee π·r². |
Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on [[ympyrä]] ja pinta-alan lausekkeeksi tulee ''π·r²''. |
||
Ellipsin kehän pituutta <math>p</math> ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava |
Ellipsin kehän pituutta <math>p</math> ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava on |
||
<math>p = 4\ a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\epsilon^2\sin^2{t}}\;dt,</math> |
<math>p = 4\ a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\epsilon^2\sin^2{t}}\;dt,</math> |
||
| Rivi 22: | Rivi 22: | ||
== Ellipsin yhtälö == |
== Ellipsin yhtälö == |
||
Kun ellipsin keskipiste on pisteessä (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), on sen yhtälö muotoa |
Kun ellipsin keskipiste on pisteessä ''(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)'', on sen yhtälö muotoa |
||
:<math>\frac{(x-x_0)^2} {a^2} + \frac{(y-y_0)^2} {b^2} = 1\!</math> , jossa <math>a,b\in\mathbb{R}</math>. |
:<math>\frac{(x-x_0)^2} {a^2} + \frac{(y-y_0)^2} {b^2} = 1\!</math> , jossa <math>a,b\in\mathbb{R}</math>. |
||
| Rivi 32: | Rivi 32: | ||
:<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0\!</math> , jossa <math>A,B,C,D,E,F\in\mathbb{R}</math>. |
:<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0\!</math> , jossa <math>A,B,C,D,E,F\in\mathbb{R}</math>. |
||
Kaavoissa a on x-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja b y-akselin suuntaisen puoliakselin pituus. |
Kaavoissa ''a'' on ''x''-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja ''b'' ''y''-akselin suuntaisen puoliakselin pituus. |
||
Jos a = b = r, kyseessä on [[ympyrä]], jonka säde on r. |
Jos ''a = b = r'', kyseessä on [[ympyrä]], jonka säde on ''r''. |
||
== Katso myös == |
== Katso myös == |
||
Versio 30. elokuuta 2012 kello 13.23
Ellipsi (suomalaisittain yleensä soikio) on suljettu toisen asteen käyrä. Ellipsi on myös yksi kartioleikkauksista, niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä on vakio.
Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. Olkoot F1 ja F2 kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason piste X, jonka F1:stä ja F2:sta mitattujen etäisyyksien summalla PF1 + PF2 on vakioarvo. Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon on PF1 + PF2 suurempi kuin pisteiden F1 ja F2 välinen etäisyys.
Pisteitä F1 ja F2 sanotaan ellipsin polttopisteiksi. Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsin akseleiksi. Suoraa AB kutsutaan ellipsin isoakseliksi. Jana a on isoakselin puolikas. Suoraa CD kutsutaan ellipsin pikkuakseliksi. Jana b on pikkuakselin puolikas.
Pinta-ala
Ellipsin pinta-ala saadaan kaavasta
- missä a ja b ovat ellipsin puoliakseleita.
Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on ympyrä ja pinta-alan lausekkeeksi tulee π·r².
Ellipsin kehän pituutta ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava on
jossa on ellipsin eksentrisyys, sisältää toisen lajin elliptisen integraalin.
Ellipsin yhtälö
Kun ellipsin keskipiste on pisteessä (x0,y0), on sen yhtälö muotoa
- , jossa .
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa:
- , jossa .
Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa
- , jossa .
Kaavoissa a on x-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja b y-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.
Jos a = b = r, kyseessä on ympyrä, jonka säde on r.