Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p r2.7.1) (Botti lisäsi: kk:Сипаттауыш көпмүшелік |
p Pientä fiksausta |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
'''Karakteristinen polynomi''' on [[neliömatriisi|neliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]]. |
'''Karakteristinen polynomi''' on [[neliömatriisi|neliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]]. |
||
== |
==Lähtökohta== |
||
Annetulle neliömatriisille |
Annetulle neliömatriisille <math>A</math> on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat <math>A</math>:n ominaisarvot. |
||
==Päädiagonaalimatriisi== |
|||
⚫ | |||
Päädiagonaalimatriisille eli [[lävistäjämatriisi]]lle <math>A</math> karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa <math>a_i</math>, missä <math>i=1,...,n</math>, niin karakteristinen polynomi on muotoa |
|||
⚫ | |||
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot. |
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot. |
||
==Yleinen tapaus== |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>, |
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>, |
||
eli |
|||
tai |
|||
:<math>( |
:<math>(\lambda I-A)\vec{v} = \vec{0}</math>, |
||
missä |
missä <math>I</math> on [[yksikkömatriisi]]. Koska vektori <math>\vec{v}</math> on nollasta eroava, on matriisin <math>(A - \lambda I)</math> oltava [[singulaarinen matriisi|singulaarinen]], jolloin sen [[determinantti]] on <math>0</math>. Tämän determinantista saadun polynomin <math>\det(tI - A)</math> juuret ovat <math>A</math>:n ominaisarvoja. |
||
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön |
|||
:<math>\det(tI - A) = 0\,</math> |
:<math>\det(tI - A) = 0\,</math> |
||
ratkaisuina. |
|||
Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty. |
|||
==Formaali määritelmä== |
==Formaali määritelmä== |
||
Olkoon |
Olkoon <math>K</math> [[kunta (matematiikka)|kunta]] ja <math>A</math> <math>K</math>-kertoiminen <math>n\times n</math> -matriisi. |
||
Matriisin <math>A</math> karakteristinen polynomi <math>p_A(t)</math> on määritelmän mukaan |
|||
:<math>p_A(t) = \det( |
:<math>p_A(t) = \det(tI-A)\,</math>, |
||
missä |
missä <math>I</math> on <math>n\times n</math> [[yksikkömatriisi]]. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla <math>\det(A-tI)</math>. Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla <math>\pm 1</math>. |
||
==Esimerkki== |
==Esimerkki== |
||
Rivi 44: | Rivi 52: | ||
Tämä determinantti on |
Tämä determinantti on |
||
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math> |
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math> |
||
Tämä on |
Tämä on <math>A</math>:n karakteristinen polynomi, missä <math>t</math> on matriisin [[ominaisarvo]]. |
||
[[Luokka:Lineaarialgebra]] |
[[Luokka:Lineaarialgebra]] |
Versio 14. heinäkuuta 2012 kello 19.15
Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Lähtökohta
Annetulle neliömatriisille on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.
Päädiagonaalimatriisi
Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleinen tapaus
Yleisen -neliömatriisin tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) Jäsentäminen epäonnistui (SVG (MathML voidaan ottaa käyttöön selainlaajennuksen kautta): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/fi.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \lambda} on matriisin ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että
- ,
eli
- ,
missä on yksikkömatriisi. Koska vektori on nollasta eroava, on matriisin oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin juuret ovat :n ominaisarvoja.
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön
ratkaisuina.
Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä
Olkoon kunta ja -kertoiminen -matriisi. Matriisin karakteristinen polynomi on määritelmän mukaan
- ,
missä on yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .
Esimerkki
Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä on matriisin ominaisarvo.