Lukujärjestelmä

Lukujärjestelmä tarkoittaa tapaa, jolla numeroista koostetaan lukuja. Kantaluku kertoo, kuinka monta eri numeroa lukujärjestelmän luvuissa voi esiintyä. Esimerkiksi kymmenjärjestelmässä on luvut 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Käytettävä lukujärjestelmä ilmoitetaan usein alaindeksillä tai muulla tunnuksella. (5₁₀ = 101₂ = 101b)

Lukujärjestelmiä

Länsimaissa käytetään yleisesti arabialaisia numeroita järjestelmässä, jonka kantaluku on 10. Myös muunlaisia järjestelmiä on ollut ja on vieläkin käytössä eri sovellusalueilla.

Tietotekniikassa käytetään usein 2-kantajärjestelmää eli binäärijärjestelmää (numeroina 0, 1), heksadesimaalijärjestelmää (numeroina 0-9 sekä A, B, C, D, E ja F) ja oktaalijärjestelmää (numeroina 0-7).

Muinaiset babylonialaiset käyttivät 60-järjestelmää (niin sanottu seksagesimaalijärjestelmä), josta on peräisin mm. tunnin jakaminen 60 minuuttiin ja minuutin jakaminen 60 sekuntiin.

Suomen kielen ja sen sukulaiskielissä on käytösä kymmenjärjestelmä. Lukusanojen etymologian perusteella näyttää siltä, että kaikki suomalais-ugrilaisten kielten puhuja käyttivät kymmenjärjestelmää myös tuhansia vuosia sitten. Luvut 1 - 6 ja 10 ovat varmoja omaperäisiä sanoja, mutta kiistaa on ollut lukusanoista 7 - 9. Epäillään, että Suomen sanat kahdeksan ja yhdeksän olisivat lainasanoja, jossa yhde- ja kahde- osien jälkeen perässä olisi otettu *teksa tai *deksa, joka vastaisi indoeurooppalaista sanaa deka "kymmenen". Silloin vanha lukujärjestelmä on tulkittu ollen 6-kantainen lukujärjestelmä. Toisaalta kymmenen on omaperäinen sana, joka viittaa vanhaan kymmenjärjestelmän käyttöön. Jos sana kaksi taivutetaan kahde-, voisi muuttunut "kymmen" olla *ksa tai *ksan tapainen sana. Vanhaa lukujärjestelmää ei siten voi vielä määrittää harvinaisemmaksi 6-kantaiseksi järjestelmäksi, antamatta tueksi lisäperusteita.

On mahdollista rakentaa myös muihin kuin kokonaislukuihin perustuvia lukujärjestelmiä. Esimerkiksi piin potenssisarjalle (n₀ + n₁π + n₂π² + ...) perustuva lukujärjestelmä pystyy merkitsemään täsmällisesti joidenkin irrationaalisten funktioiden arvoja.

Luvun esitys lukujärjestelmässä

Lukujärjestelmässä, jonka kantaluku on (ykköstä suurempi) positiivinen luku k, mikä tahansa luku x ilmaistaan kantaluvun k potenssien summana

$x=\sum _{i\in Z}d_{i}k^{i}$,

missä indeksi i saa kaikki kokonaislukuarvot ja luvun numerot d_i ovat kokonaislukuja välillä 0..k-1, (eli $d_{i}\in [0..k-1]$). Kantaluku k on yleensä positiivinen kokonaisluku.

Lukujärjestelmässä luku kirjoitetaan numeromuodossa $\ d_{n}d_{n-1}d_{n-2}...d_{1}d_{0}\cdot d_{-1}d_{-2}...$, missä pisteen vasemmalla puolella olevat numerot muodostavat kokonaisosan ja oikealla puolella olevat murto-osan (desimaalijärjestelmässä desimaaliosan). Kokonaislukuosasta jätetään merkitsemättä alkunollat. Murto-osa pisteen oikealla voidaan merkitä halutulla tarkkuudella koska oikealle mentäessä numeroiden painoarvo pienenee eksponentiaalisesti. Desimaalijärjestelmässä piste merkitään Suomessa desimaalipilkulla.

Esimerkiksi desimaalijärjestelmässä luku 73,2 on lyhennysmerkintä esitykselle 7•10¹ +3 •10⁰ + 2•10^-1.

Kantaluvusta riippuen luvulle saadaan erilainen esitys eri lukujärjestelmissä.

Luvun esitysmuodon muuntaminen lukujärjestelmästä toiseen

Huomautus: x⁰ = 1 eli mikä tahansa luku (x ei saa olla 0) korotettuna potenssiin nolla on yksi.

10-järjestelmässä lukujen painoarvo menee seuraavasti (10:llä jaolliset painoarvot): .... 1000, 100, 10, 1 .... esimerkiksi

• 154₁₀ = 1·10² + 5·10¹ + 4·10⁰

Heksadesimaalijärjestelmässä taas on heksadesimaaliluvulla 10₁₆ jaolliset painoarvot (eli 16₁₀-jaolliset): .... 4096, 256, 16, 1. Esimerkiksi

• 4F07₁₆ = 4·16³ + 15·16² + 0·16¹ + 7·16⁰ (eli 4₁₆ · 1000₁₆ + F₁₆ · 100₁₆ + 0₁₆ · 10₁₆ + 7₁₆ · 0₁₆)

Näin ollen esimerkiksi jos muutamme luvun 1024₁₀ heksadesimaaliluvuksi, voimme käsitellä sitä seuraavasti: Katsomme suurimman painoarvoluvun joka on silti pienempi kuin 1024, tässä tapauksessa 256. Kerromme sen niin suurella luvulla kuin mahdollista, että se ei silti ylitä tavoittelemaamme lukua. saadaan luku 4.

eli siis 1024₁₀ = 4·256₁₀.

Heksadesimaalilukuna 256₁₀ = 100₁₆ joten 4·100₁₆ = 400₁₆ joka on tavoittelemamme luku.

Toisena esimerkkinä voidaan ottaa luku 7386₁₀. se on 1·16³ + 12·16² + 13·16¹ + 10·16⁰ Tästä saadaan siis luku 1CDA₁₆

Jakoalgoritmin soveltaminen kokonaislukujen muuntamiseen lukujärjestelmästä toiseen

Jakoalgoritmia voidaan helposti soveltaa kymmenlukujärjestelmässä olevien kokonaislukujen esittämiseksi eri lukujärjestelmissä. Muissa lukujärjestelmissä olevat luvut täytyy ensin muuntaa kymmenlukujärjestelmään ennen jakoalgoritmin soveltamista. Sovellus toimii seuraavanlaisesti:

1. Otetaan kaksi kakkosta suurempaa kokonaislukua a ja b. a on muunnettava luku ja b on kohdejärjestelmä.
2. Suoritetaan laskutoimitus $a-\left[{\frac {a}{b}}\right]\cdot b$ (merkintä $\left[{\frac {a}{b}}\right]$ tarkoittaa, että a jaetaan b:llä, mutta huomioidaan tuloksesta vain kokonaisosa).
3. Edellisen laskutoimituksen tulos on muunnoksen ensimmäinen, vähiten merkitsevä numero. Otetaan talteen myös laskutoimituksen $\left[{\frac {a}{b}}\right]$ tulos, sillä sitä käytetään seuraavassa kohdassa.
4. Toistetaan sama laskutoimitus, mutta tällä kertaa korvataan a edellisen laskutoimituksen $\left[{\frac {a}{b}}\right]$ tuloksella. Eli toinen laskutoimitus olisi kokonaan uudelleen laskettuna muotoa $\left[{\frac {a}{b}}\right]-\left[{\frac {\left[{\frac {a}{b}}\right]}{b}}\right]\cdot b$
5. Tuloksena saatiin muunnoksen seuraava numero.
6. Jatketaan muunnosta, kunnes laskun $\left[{\frac {a}{b}}\right]$ tulos on alle yksi.

Seuraavassa perusteellinen esimerkki siitä, kuinka tapahtuisi luvun 1024₁₀ muuntaminen heksadesimaaliluvuksi. a=1024 , b=16

1. $1024-\left[{\frac {1024}{16}}\right]\cdot 16=1024-64\cdot 16=1024-1024=0,\qquad \left[{\frac {1024}{16}}\right]=64$
2. $64-\left[{\frac {64}{16}}\right]\cdot 16=64-4\cdot 16=64-64=0,\qquad \left[{\frac {64}{16}}\right]=4$
3. $4-\left[{\frac {4}{16}}\right]\cdot 16=4-0\cdot 16=4-0=4,\qquad \left[{\frac {4}{16}}\right]=0$

Lopputulos luetaan alhaalta ylöspäin, eli 1024₁₀ on siis 400₁₆.

Yhtä yksinkertaisesti voimme esimerkiksi muuttaa luvun 78162₁₀, kuusikymmenlukujärjestelmään. a=78162 , b=60

1. $78162-\left[{\frac {78162}{60}}\right]\cdot 60=78162-1302\cdot 60=78162-78120=42,\qquad \left[{\frac {78162}{60}}\right]=1302$
2. $1302-\left[{\frac {1302}{60}}\right]\cdot 60=1302-21\cdot 60=1302-1260=42,\qquad \left[{\frac {1302}{60}}\right]=21$
3. $21-\left[{\frac {21}{60}}\right]\cdot 60=21-0\cdot 60=21-0=21,\qquad \left[{\frac {21}{60}}\right]=0$

Kuusikymmenlukujärjestelmää käytetään lähinnä ajan mittaamiseen (sekunnit ja minuutit). Jos alkuperäinen kymmenlukujärjestelmässä ollut luku oli sekunneissa, lopputulos on 21 tuntia 42 minuuttia ja 42 sekuntia.

Eri lukujärjestelmillä laskeminen

Kantaluvusta riippumatta luvuilla "yksi nolla" (10) kertominen ja jakaminen on äärimmäisen helppoa. esimerkiksi

• Heksadesimaaliluvuilla: 24₁₆ · 10₁₆ = 240₁₆ (36₁₀ * 16₁₀ = 576₁₀)
• Binääriluvulla: 110b · 100b = 11000b (6₁₀ · 4₁₀ = 24₁₀)

Yhteen- ja vähennyslaskutkaan eivät ylitsepääsemättömiä ole. Kyseessä on vain tottumuskysymys. Periaatteessa yhteenlasku on aivan yhtä yksinkertaista erikantaisilla luvuilla. Ihmiset ovat vain tottuneet käyttämään 10-järjestelmää.

Lähteet

• Häkkinen Kaisa: Nykysuomen etymologinen sanakirja. Juva: WSOY, 2007. ISBN 978-951-27108-7.

Numerojärjestelmät

arabialainen | armenialainen | babylonialainen | heprealainen | kiinalainen | kreikkalainen | mayalainen | roomalainen

Lukujärjestelmät

binääri- | senaari- | oktaali- | kymmen- (desimaali-) | duodesimaali- | heksadesimaali- | vigesimaali- | seksagesimaalijärjestelmä