Kultainen leikkaus

Suorakulmion jakamista kultaisen leikkauksen suhteella.

Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kun jana jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan; suhde on pidemmän ja lyhyemmän jako-osan pituuksien suhde.

Kultaista leikkausta tutkivat ensimmäisenä antiikin Kreikan matemaatikot huomattuaan, että suhde esiintyy useissa geometrisissa kuvioissa.

Kultainen leikkaus kuvissa

Kultainen leikkaus on kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa sommittelun perussääntöjä. Muodot, joissa esiintyy kultainen leikkaus, koetaan esteettisesti miellyttäviksi.^lähde? Keskimäärin miellyttävimpinä pidetään sellaisia ihmiskasvoja, joiden suhteet vastaavat kultaista leikkausta parhaiten.^lähde?

Matematiikan vakio

Kultaisen leikkauksen arvo voidaan helposti laskea sen määritelmän perusteella. Jos tarkasteltavan janan pituus on 1 ja sen pitemmän jako-osan $x\,$, niin lyhempi jako-osa on $1-x\,$, ja $x\,$ toteuttaa yhtälön $x/1=(1-x)/x\,$ eli $x^{2}+x-1=0\,$. Tämän toisen asteen yhtälön positiivinen ratkaisu on $x={\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)$. Kultaisen leikkauksen arvo on ${\frac {1}{x}}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=1{,}61803\dots$. Kultaista leikkausta merkitään usein symbolilla $\phi \,$.

Kun verrataan Fibonaccin lukujonon, jossa kukin luku on kahden edellisen luvun summa, kahden peräkkäisen luvun suhdetta toisiinsa, saadaan luku, joka on sitä lähempänä kultaista leikkausta, mitä pitemmälle lukujonossa edetään.

Geometriset konstruktiot kultaisen leikkauksen avulla

Pentagrammin konstruoiminen perustuu kultaiseen leikkaukseen. Pentagrammi on kuvio, joka saadaan, kun säännölliselle viisikulmiolle piirretään lävistäjät ja poistetaan alkuperäinen viisikulmio. Lävistäjät jakavat toiset lävistäjät kolmeen osaan. Säännöllisen viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa kultaisen leikkauksen suhteessa. On arveltu, että tämän ominaisuuden takia antiikin filosofi Pythagoras valitsi pentagrammin salaseuransa symboliksi. Eukleides esittää teoksessaan Alkeet kultaisen leikkauksen määrittämisen yksinkertaisen geometrisen konstruktion avulla (kirjan II propositio 11) ja käyttää tulosta säännöllisen viisikulmion piirtämiseen (kirjan IV propositio 11). On arveltu, että Eukleideen esittämä konstruktio on alun perin pythagoralaisten keksimä.

Kultainen suorakulmio

Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen suhteet noudattavat kultaista leikkausta:

			φ = 1 + x
				x = φ - 1
φ			1	x = 1 / φ
	1				1

Katso myös

• Sommittelu