Tilavuusintegraali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tilavuusintegraali on yleistys pintaintegraalista.

Tilavuusintegraali on kolmoisintegraali jatkuvasta vakiofunktiosta 1, joka määrää joukon D tilavuuden. Joukon D tilavuus on siis

Jatkuvan funktion integraali joukon yli on kolmoisintegraali

Tilavuusintegraali pallokoordinaatistossa on muotoa (kts. kohta "Muuttujanvaihto")

ja sylinterikoordinaatistossa (kts. kohta "Muuttujanvaihto")


Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon kompakti, reuna nollajoukko ja jatkuva. Tällöin integraali on olemassa.[1] Joukon tilavuus määritellään kaavalla , jos integraali on olemassa.

Muuttujanvaihto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot avoimia, ja kompakteja, ja nollajoukkoja sekä bijektiivinen -kuvaus, . Jos on jatkuva, niin

,

missä on kuvauksen jacobiaani eli Jacobin determinantti

,

ja ovat :n koordinaattifunktiot.[2]


Kuvaukselle , , missä

saadaan Jacobin determinantiksi , kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan.

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

Jacobin determinantiksi .

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan :n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla pallokoordinaatteihin sijoituksella:


Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pintaintegraali

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 128, Limes ry, 2.korjattu painos. ISBN 951-745-205-5
  2. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 130, Limes ry, 2.korjattu painos. ISBN 951-745-205-5


Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]