Tilavuusintegraali
Tilavuusintegraali eli avaruusintegraali[1] on kolmiulotteisessa avaruudessa tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.
Määritelmä
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on[2]
Jos on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:[2]
Valitaan suorakulmainen särmiö siten, että D sisältyy A:hen eli . Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio fD siten, että
- , kun , ja
- , kun
Nyt määritellään, että
- .
Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen.[2]
Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä:[2]
- , kun ,
mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.
Tilavuusmitta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χD, jonka arvo on
- , kun , ja
- , kun ,
Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:
,
mikäli karakteristinen funktio on integroituva.[2]
Koska &chiD saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χD korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli ), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:
.
Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli:
Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Katso myös: Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)
Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.
Olkoot avoimia, ja kompakteja, ja nollajoukkoja sekä bijektiivinen -kuvaus, . Jos on jatkuva, niin
,
missä on kuvauksen jacobiaani eli Jacobin determinantti
,
ja ovat :n koordinaattifunktiot.[3]
Kuvaukselle , , missä
saadaan Jacobin determinantiksi , kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke:
Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista
Jacobin determinantiksi ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke
Esimerkki
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Lasketaan :n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla pallokoordinaatteihin sijoituksella:
Katso myös
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Juhani Pitkäranta: Calculus Fennicus: TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013). Avoimet oppimateriaalit ry., 2015. ISBN 978-952-7010-12-9 Teoksen verkkoversio.
- ↑ a b c d e Olli Lehto: ”Pintaintegraalin määritelmä, Avaruusintegraalit”, Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 74–76, 106–107. (Avaruusintegraalin integraalia ei kirjassa ole esitetty eksplisiittisesti, mutta sivulla 106 sanotaan, että avaruusintegraali määritellään kolmiulotteisessa avaruudessa aivan vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.) Offset Oy, 1978.
- ↑ Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 130. (2. korjattu painos) Limes ry. ISBN 951-745-205-5