Tilavuusintegraali

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Tilavuusintegraali eli avaruusintegraali[1] on kolmiulotteisessa avaruudessa tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.

Määritelmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on[2]

Jos on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:[2]

Valitaan suorakulmainen särmiö siten, että D sisältyy A:hen eli . Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio fD siten, että

  1. , kun , ja
  2. , kun

Nyt määritellään, että

.

Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen.[2]

Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä:[2]

, kun ,

mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.

Tilavuusmitta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χD, jonka arvo on

  1. , kun , ja
  2. , kun ,

Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:

,

mikäli karakteristinen funktio on integroituva.[2]

Koska &chiD saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χD korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli ), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:

.

Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli:

Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.

Olkoot avoimia, ja kompakteja, ja nollajoukkoja sekä bijektiivinen -kuvaus, . Jos on jatkuva, niin

,

missä on kuvauksen jacobiaani eli Jacobin determinantti

,

ja ovat :n koordinaattifunktiot.[3]

Kuvaukselle , , missä

saadaan Jacobin determinantiksi , kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke:

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

Jacobin determinantiksi ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke

Lasketaan :n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla pallokoordinaatteihin sijoituksella:

  1. Juhani Pitkäranta: Calculus Fennicus: TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013). Avoimet oppimateriaalit ry., 2015. ISBN 978-952-7010-12-9 Teoksen verkkoversio.
  2. a b c d e Olli Lehto: ”Pintaintegraalin määritelmä, Avaruusintegraalit”, Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 74–76, 106–107. (Avaruusintegraalin integraalia ei kirjassa ole esitetty eksplisiittisesti, mutta sivulla 106 sanotaan, että avaruusintegraali määritellään kolmiulotteisessa avaruudessa aivan vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.) Offset Oy, 1978.
  3. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 130. (2. korjattu painos) Limes ry. ISBN 951-745-205-5