Stewartin lause

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

.

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Olkoon kulma AXB. Soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXB saadaan

eli

Koska , soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXC saadaan

.

Siten

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

eli

.

Koska , saadaan

Apolloniuksen lause on Stewartin lauseen erikoistapaus.