Stewartin lause

Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

$a(p^{2}+xy)=b^{2}x+c^{2}y$.

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Olkoon $\alpha$ kulma AXB. Soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXB saadaan

$c^{2}=x^{2}+p^{2}-2px\cos \alpha$ eli

$\cos \alpha ={\frac {x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2px}}.$

Koska $\cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXC saadaan

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}-y^{2}-p^{2}}{2py}}$.

Siten

$2py(x^{2}+p^{2}-c^{2})=2px(b^{2}-y^{2}-p^{2})$

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

$x^{2}y+xy^{2}+p^{2}y+p^{2}x=b^{2}x+c^{2}y$

eli

$xy(x+y)+p^{2}(x+y)=b^{2}x+c^{2}y$.

Koska $a=x+y$, saadaan

$a(xy+p^{2})=b^{2}x+c^{2}y.\quad \Box$

Apolloniuksen lause on Stewartin lauseen erikoistapaus.