Sarja (matematiikka)

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Sarjakehitelmä)
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki
Voidaan päätellä, että
Tämän sarjan osasummien jonolla
on raja-arvo
Esimerkki
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että

Sarjan osasummia ovat





Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on

  • Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
  • Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja on aritmeettinen, jos lukujono on muotoa eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio .

Sarja on geometrinen, jos lukujono on muotoa eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio .

Kaavoja ja sääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Sarja hajaantuu, jos
    • tai
    • ei ole olemassa.
  2. Vuorotteleva sarja eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
  3. Aliharmoninen sarja hajaantuu.
  4. Harmoninen sarja hajaantuu.
  5. Yliharmoninen sarja suppenee.
  6. Geometrinen sarja suppenee, kun tai .
    • Tällöin

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritetään sarjan summa.

Osasumma
Summa on geometrinen summa; , termejä .
.

Sarjakehitelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]