Pickin lause

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
polygon constructed on a grid of equal-distanced grid points

Pickin lauseen avulla (tunnetaan myös nimellä Pickin kaava) voidaan laskea annetun monikulmion, jonka kärkipisteet ovat hilapisteissä, pinta-ala A, mikäli tiedetään monikulmion sisustan hilapisteiden lukumäärä i ja reunalla olevien hilapisteiden lukumäärä b. Pickin kaavan mukaan tällöin on voimassa

A = i + ½b − 1.

Kuvassa olevassa esimerkissä on i = 39 ja b = 14, joten monikulmion ala on A = 39 + ½(14) − 1 = 39 + 7 − 1 = 45.

Huomaa, että lause on voimassa vain yhtenäisille monikulmioille, joten monikulmion on koostuttava yhdestä palasta, ja siinä ei saa olla reikiä. Useamman reiän tapauksessa kaavan "−1" on korvattava termillä "−χ(P)", jossa χ(P) on P:n Eulerin karakteristika.

Lauseen todisti Georg Alexander Pick vuonna 1899. Lause voidaan yleistää useampaan ulottuvuuteen käyttämällä hyväksi niin sanottuja Ehrhartin polynomeja.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan monikulmiota P ja kolmiota T, kun T:llä ja P:llä on yhteinen sivu. Todistetaan, että jos Pickin lause on voimassa monikulmiolle P, on se myös voimassa monikulmiolle PT, jossa PT on saatu liittämällä kolmio T monikulmioon P. Koska P:llä ja T:llä on yhteinen sivu, ovat kaikki tämän sivun pisteet PT:n sisäpisteitä lukuun ottamatta sivujen päätepisteitä. Siten jos c on P:n ja T:n yhteisten reunapisteiden lukumäärä, on

iPT = (iP + iT) + (c − 2)

ja

bPT = (bP + bT) − 2(c − 2) − 2.

Yllä olevasta seuraa, että

(iP + iT) = iPT - (c − 2)

ja että

(bP + bT) = bPT + 2(c − 2) + 2.

Koska lause on voimassa sekä P:lle että T:lle, on

APT = AP + AT
       = iP + ½bP − 1 + iT + ½bT − 1
       = (iP + iT) + ½(bP + bT) − 2
       = iPT − (c − 2) + ½(bPT + 2(c − 2) + 2) − 2
       = iPT + ½bPT − 1.

Siten jos kaava on voimassa n-kulmiolla, on se voimassa myös (n + 1)-kulmiolle. Vielä pitää osoittaa, että kaava on voimassa kolmioille. Tämä voidaan tehdä kolmessa osassa:

  • Tarkistetaan ensin, että kaava on voimassa nelikulmiolle, jonka sivut ovat yhdensuuntaisia koordinaattiakselien kanssa.
  • Jakamalla tämä nelikulmio lävistäjän suhteen kahtia voidaan osoittaa, että kaava on voimassa suorakulmaisille kolmioille.
  • Jokainen kolmio voidaan täydentää nelikulmioksi liittämällä kolmioon korkeintaan kolme suorakulmaista kolmiota. Koska lause on voimassa kaikille kolmioille ja nelikulmioille, joiden sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset, on lause voimassa myös jokaiselle kolmiolle.

Viimeisessä vaiheessa käytetään tietoa, että jos lause on voimassa monikulmiolle PT ja kolmiolla T, on se myös voimassa monikulmiolle P. Tämän osoittaminen on hyvin samantapaista kuin yllä oleva päättely.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]