Picardin lause

Picardin lause tarkoittaa kahta funktioteorian lausetta, jotka koskevat analyyttisiä funktioita ja on nimetty Charles Émile Picardin mukaan.

Lauseiden väittämät

Ensimmäinen lause eli Picardin pieni lause sanoo, että jos funktio f(z) on kokonainen eikä ole vakio, niin tällöin f(z) saa kaikki kompleksiset arvot mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta.

Picardin toinen lause eli Picardin suuri lause sanoo, että jos analyyttisellä funktiolla f(z) on oleellinen singulariteetti pisteessä w, on kaikissa w:n sisältävissä avoimissa joukoissa voimassa, että f(z) saa kaikki kompleksiset arvot mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta. Tämä on vahvempi tulos kuin Weierstrassin–Casoratin lause, joka takaa vain, että f:n kuvajoukko on tiheä kompleksitasossa.

Picardin-Lindelöfin lause on nimetty Picardin ja Ernst Lindelöfin mukaan.

Huomaa

• Molemmissa lauseissa rajaus ”mahdollisesti yhtä arvoa lukuun ottamatta” on välttämätön: Eksponenttifunktio e^z on kokonainen, mutta ei saa arvoa nolla, ja toisaalta e^1/z:llä on oleellinen singulariteetti origossa, mutta se ei saa arvoa nolla.
• Picardin pieni lause seuraa suuresta, sillä kokonainen funktio on joko polynomi tai sillä on oleellinen singulariteetti äärettömyydessä.
• B. Elsner (Ann. Inst. Fourier 49-1 (1999) s. 330) on otaksunut samantapaisen konjektuurin kuin "Picardin suuri lause": Olkoon $D-\{0\}$ punkteerattu yksikkökiekko kompleksitasossa ja olkoon $U_{1},U_{2},...,U_{n}$ $D-\{0\}$:n äärellinen avoin peite. Oletetaan, että jokaisella $U_{j}$ on olemassa injektiivinen holomorfinen funktio $f_{j}$, jolle $df_{j}=df_{k}$ jokaisella leikkauksella $U_{j}$n$U_{k}$. Tällöin differentiaalit liimautuvat yhteen meromorfiseksi 1-differentiaalimuodoksi yksikkökiekossa $D$. (Erikoistapaus, jossa residy on nolla, seuraa Picardin lauseesta.)

Lähteet

• Conway, John B.: Functions of One Complex Variable I, 2nd edition, Springer, 1978

Kirjallisuutta

• Lehto, Olli: Funktioteoria I–II. Helsinki: Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951-745-077-X.