Pallotrigonometria

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eräs pallokolmio. Kulmat a, b ja c vastaavat kolmion sivuja ja C on sivun c vastainen kärkikulma. Vastaavalla tavalla kärjessä v on kulma B ja kärjessä w on kulma A.

Pallotrigonometria tarkoittaa kolmiomittausta pallon pintaa pitkin. Koska pallopinta eroaa kaarevuutensa vuoksi tasosta, myös pallotrigonometrialla on eroja koulusta tuttuun tason trigonometriaan verrattuna. Pallotrigonometrialla on perinteisesti ollut erityisen suuri merkitys tähtitieteessä sekä navigoinnissa.

Pallokolmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallotrigonometrian perusobjekti on pallokolmio. Pallokolmio muodostuu kolmen pallon keskipisteen kautta kulkevan tason ja pallon pinnan leikkauksena syntyvistä pallon isoympyrän kaarista. Pallokolmion kulmat ovat näiden tasojen väliset kulmat eli diedrikulmat. Koska isoympyrän kaarien suuruus ilmaistaan niitä vastaavien keskuskulmien suuruutena, pallokolmion sivut ja kulmat ilmoitetaan molemmat kulmamitoin. Pallotrigonometrian sovelluksissa käytetään lähes yksinomaan kulman mittayksikkönä astetta, mutta joissakin teoreettisissa tarkasteluissa on hyödyllisempää käyttää radiaaniyksikköä.

Olkoon pallon keskipiste. Pallokolmion napakolmio on , missä on tason normaali ja on se normaalin ja pallon leikkauspiste, josta tarkasteltuna kaari kuljetaan positiiviseen kiertosuuntaan ja , määritellään analogisesti. Napakolmion sivuille pätee , ja . Osoittautuu, että kolmion napakolmio on . Siis , ja .

Pallotrigonometrian kaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallokolmioiden tuntemattomien osien laskeminen tunnettujen osien avulla perustuu pallotrigonometrian sini- ja kosinilauseisiin. Jos pallokolmion kulmat ovat , ja (pallokolmion kulmia ja sen kärkiä on tapana merkitä samalla symbolilla) ja niiden vastaiset sivut , ja , niin pallotrigonometrian sinilauseen ilmaisevat yhtälöt

.

Pallotrigonometrian (ensimmäinen) kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön

(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin).

Pallotrigonometrian toinen kosinilause puolestaan sisältyy yhtälöön

(ja siitä symbolien kiertovaihteluilla muodostettuihin yhtälöihin).

Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen todistamiseksi oletetaan pallon säteeksi 1. Merkitään pallokolmion kärkipisteitä samoilla kirjaimilla kuin sen kulmia ja pallon keskipistettä :lla. Tason normaalivektori on ja tason normaalivektori on . Kerrottavien vektorien pituus on 1, joten ristitulojen pituudet ovat ja . Lisäksi , ja . Normaalivektorien pistetulon avulla voidaan ilmaista tasojen ja välisen kulman kosini eli : Edellä käytettiin tietoa kertomisjärjestyksen vaihtamismahdollisuudesta skalaarikolmitulossa ja vektorikolmitulon laskukaavaa.

Pallotrigonometrian sinilause voidaan johtaa kosinilauseesta trigonometrian peruskaavojen avulla ja toinen kosinilause on ensimmäinen kosinilause sovellettuna :n napakolmioon .

Pallokolmion palloylijäämä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasogeometrian kolmion kulmasummalause ei päde pallokolmioille. Pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin . Tämän todistamiseksi tarkastellaan ensin pallokolmiota , missä on pisteen antipodipiste eli :stä piirretyn pallon halkaisijan toinen päätepiste. Tämän kolmion sivut ovat . Koska isoympyrän kaari on pallon geodeettinen viiva eli lyhin tie pisteestä pisteeseen , on eli . Pallokolmion sivujen pituus on siis enintään . Kun tämä relaatio sovitetaan napakolmioon ja otetaan huomioon napakolmion sivujen ja alkuperäisen kolmion kulmien välinen yhteys, saadaan eli . Pallokolmion ja tasokolmion kulmien summien erotusta kutsutaan palloylijäämäksi tai pallokolmioylijäämäksi (engl. spherical excess). Jos pallokolmion kulmien , ja suuruudet on ilmoitettu radiaaneissa, palloylijäämä on

.

Pallokolmion pinta-ala on suorassa yhteydessä sen palloylijäämään. Jos kulmayksikkönä käytetään radiaania, on

,

missä on pallon säde. On nimittäin helppo nähdä, että pallokaksikulmiot, joiden kärjet ovat pallokolmion kärkiä ja sivut pallokolmion jatkeita, peittävät yhteensä puolipallon pinnan ja sen lisäksi kahdesti pallokolmion . Koska pallokaksikolmioiden alat ovat (jos kulmat ilmaistaan radiaaneina) , ja koko pallon pallon pinta-alasta eli , ja , saadaan yhtälö , mistä .

Täten palloylijäämä ilmoittaa (steradiaaneissa) sen avaruuskulman, jossa pallokolmio näkyy pallon keskipisteestä katsottuna.

Isoympyräetäisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen avulla voidaan määrittää kahden maapallon pinnan pisteen ja lyhin etäisyys, kun pisteiden maantieteelliset koordinaatit tunnetaan. Muodostetaan pallokolmio, jonka yksi kärki () on pohjoisnapa ja toiset kärjet ja . Tällöin (tai ) on joko pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on pohjoisella pallonpuoliskolla) tai pisteen leveyskoordinaatti (jos piste on eteläisellä pallonpuoliskolla). Kulma on joko pisteiden ja pituuskoordinaattien erotus (jos pisteet ovat molemmat itäisellä tai molemmat läntisellä pallonpuoliskolla) tai pienempi luvuista pituuskoordinaattien summa ja pituuskoordinaattien summa (jos toinen piste on läntisellä ja toinen itäisellä pallonpuoliskolla). Ensimmäinen kosinilause kertoo pisteitä ja yhdistävän ispoympyräkaaren kosinin; kun tästä määritetään kulma ja otetaan huomioon maapallon ympärysmitta noin 40000 km, saadaan isoympyräkaaren pituus km.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]