Osittaisfunktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Osittaisfunktio on funktion \mathbf{}f :A\to B yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon \mathbf{}A alkioon \mathbf{}a enintään yhden maalijoukon \mathbf{}B alkion, jota merkitään \mathbf{}f(a), jos tämä \mathbf{}a:n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon \mathbf{}A alkioon \mathbf{}a tarkalleen yhden joukon \mathbf{}B alkion \mathbf{}f(a), mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin \mathbf{}A:n alkioilla \mathbf{}a tällaista siihen \mathbf{}f-liitettävää \mathbf{}B-joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla \mathbf{}a sanotaan, että \mathbf{}f(a) ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä

\mathbf f(a)=\uparrow .

Niitä joukon \mathbf{}A alkioita, joilla \mathbf{} f(a) on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion \mathbf{} f määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla \mathbf{}A^{'}. Tavallisilla funktioilla \mathbf{}A^{'}=A eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä \mathbf{}A^{'}\subset A eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että \mathbf{}A^{'}=\emptyset eli \mathbf{}f(a) ei ole määritelty missään joukon \mathbf{}A pisteessä.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1)

Funktio \mathbf{}f: \{a,b,c,d\}\to \{x,y,z\}, joka on määritelty niin, että \mathbf{}f(a)=\uparrow ,f(b)=x, f(c)=z ja \mathbf{}f(d)=\uparrow eli arvoilla \mathbf{}a ja \mathbf{}d funktio \mathbf{}f ei ole määritelty.

2)

Funktio \mathbf{}f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}, missä \mathbf{}f(n)=\sqrt{n}, on määritelty tarkalleen silloin, kun \mathbf{}n on neliö eli kuuluu joukkoon \mathbf{}\{0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2,\cdots \}, sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.

3)

Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä \mathbf{}n kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion \mathbf{}f(n)-arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja \mathbf{}f(n) jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.