Nolla-avaruus

Nolla-avaruus on matriisiin liittyvä vektoriavaruuden aliavaruus, joka koostuu kaikista niistä vektoreista, joiden kuva kyseisen matriisin avulla on nollavektori. Nolla-avaruus tunnetaan myös nimellä ytimen avaruus tai yksinkertaisesti ydin.

Määritelmä

Olkoon A m×n-matriisi, ja olkoon $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$. Matriisin nolla-avaruus (engl. null space) määritellään seuraavasti:

${\text{Null}}(A)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \}.$

Toisin sanoen nolla-avaruus koostuu kaikista ratkaisuista homogeeniseen yhtälöön $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$.

Esimerkki

Olkoon

$A={\begin{bmatrix}1&2&1\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

Tällöin yhtälö $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ tarkoittaa:

$x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0.$

Parametriesitys:

$x_{2}=s,\quad x_{3}=t,\quad x_{1}=-2s-t,$

missä $s,t\in \mathbb {R}$. Nolla-avaruus koostuu vektoreista muodoissa:

${\begin{bmatrix}-2s-t\\s\\t\end{bmatrix}},\quad s,t\in \mathbb {R} .$

Tämä muodostaa aliavaruuden avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$.

Ominaisuuksia

• Nolla-avaruus on aliavaruus avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$, missä n on matriisin sarakkeiden määrä.
• Nolla-avaruuden dimensio on yhtä kuin $n-\mathrm {rank} (A)$. Tätä kutsutaan nulliteetiksi, ja se seuraa ranki–nulliteetti-lauseesta.
• Nolla-avaruus vastaa matriisin kuvaaman lineaarikuvauksen ydintä eli vektoreita, jotka kuvautuvat nollaan.

Katso myös

• Sarakeavaruus
• Riviavaruus
• Lineaarikuvaus
• Matriisin aste
• Aliavaruus

Kirjallisuus

• Heinonen, Vesa & Väänänen, Risto: Lineaarialgebra. Gaudeamus, 2001.
• Nevanlinna, Olli & Nevanlinna, Rolf: Lineaarialgebra ja geometria. Otatieto, 1980.